中学趣味数学:足球上的玄妙
足球是许多人热爱的运动.但似乎很少有人留意到足球面的组成.从远处看足球似乎是一个完美的球体.但事实上,传统足球是由黑白两色皮黏合、缝制成的多面体,其中黑块皮为正五边形,白块皮为正六边形.一个有趣的问题是:黑、白皮各有多少块呢?
观察一下会发现:黑块皮周围都是白块皮,即每一黑色皮块的边皆与白色皮块相邻,而每一白色皮块却只有3条边与黑色皮块相接.设x为黑色皮块的数目,而y为白色皮块的数目.则黑白图形相邻边的数目=5x=3y.因此足球面上的黑白比为:x∶y=3∶5.利用这个比值,只需知道较少的黑皮块数量,就可推算出较多的白皮块数量.我们数一数,就可发现黑皮有12块,由此可计算出白皮块有20块,而整个足球皮块总数为32块.
这个问题如果不数黑皮块也可得到解决,但要借助于欧拉于1752年给出的凸多面体的欧拉公式.这一奇妙的定理描述了简单多面体的顶点数、面数及棱数之间的关系:将多面体的面数与顶点数相加再减去棱数,结果总是2.亦即,设多面体的面数为F,顶点数为V,棱数为E,则三者之间满足F+V-E=2.
现在设足球的面、顶点、棱分别为F、V、E,并设正五边形、正六边形分别有x、y个.
首先易知,面数F=x+y;又因为每两个相邻的正多边形恰好有一条公共边,即每条棱均为两个面的交线,所以棱数E=;此外,观察可看到一黑两白的相邻三块皮交于一个公共顶点,换言之每个顶点对应三条边,所以顶点数V=.
于是,由欧拉公式F+V-E=2得到.
与上面已经得到的5x=3y联立,即可解得x=12,y=20.
因此足球上的黑皮正五边形有12个,白皮正六边形有20个.有意思的是,足球表面32块黑白相间的球皮,倒恰可象征参加世界杯决赛圈比赛的32支队伍.
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