高中数学指数函数、幂函数、对数函数同步训练题
3.6《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》
1.当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是 ()
A.y=100x B.y=log100x
C.y=x100 D.y=100x
解析:由于指数型函数的增长是爆炸式增长,则当 x越来越大时,函数y=100x的增长速度最快.w
答案:D
2.设x(0,1)时,y=xp(pZ)的图像在直线y=x的上方,则p的取值范围是()
A.p B.01
C.p1且p D.p1
解析:当p 0时,f(x)=xp=(1x )-p,在(0,1)上单调递减,
yf(1)=1在直线y=x上面,故只有C正确.
答案:C
3.四人赛跑,假设其跑过的路程和时间的函数关系分别为f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3 (x)=log2x,f4(x)=2x如果他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关系是 ()
A.f1(x)=x2 B.f2(x)=4x
C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x
解析:在同一坐标系中画图像可知,当x取较大值时指数函数y=2x在上方,即2x值最大.
答案:D
4.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系:y=at,有以下叙述:
①这个指数函数的底数为2;
②第5个月时,浮萍面积就会超过30 m2;
③浮萍从 4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月;
④浮萍每月增加的面积都相等;
⑤若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别为t1,t2,t3,则t1+t2=t3.
其中正确的是 ()
A.①② B.①②③④
C.②③④⑤ D.①②⑤
解析 :由于图像经过点(1, 2),所以2=a1,即a=2.
①正确.y=2t .
当t=5时,y=25=3230,故②正确.
令y=4,得t=2.即第2个月浮萍蔓延的面积为4 m2.
再过1.5个月,即t=3.5时,y=23.5=272=82 m2,故③错误.
前几个月浮萍的面积分别为2 m2,4 m2,8 m2,16 m2,显然浮萍每个月增加的面积不相等,故④错误.
若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别为t1,t2,t3,即2t1=2,2t2=3,2t3=6,
则t1=log22=1,t2=log23,t3=log26,
又log26=log2(23)=log22+log23,
t3=t1+t2,故⑤成立.
综上,①②⑤正确.
答案:D
5.近几年由于北京房价的上涨,引起了二手房市场交易的火爆.房子没有什么变化,但价格却上涨了,小张在2000年以15万元的价格购得一所新房子,假设这10年来价格年膨胀率不变,那么到2010年,这所房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是________.
解析:1年后,y=15(1+x);2年后,y=15(1+x)2;3年后,y=15(1+x)3,…,10年后,y=15(1+x)10.x
答案:y=15(1+x)10
6.已知元素“碳14”每经过5 730年,其质量就变成原来的一半.现有一文物,测得其中“碳14”的残存量为 原来的41%,此文物距现在约有________年.(注:精确到百位数,lg2=0.301 0,lg4.1=0.613)
解析:设距现在为x年,则有(12)x5 730=41%,两边取对数,利用计算器可得x7 400.
答案:7 400
7.已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元, 且甲厂在2月份的利润是14万元,乙厂在2月份的利润是8万元.若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型:f(x)=a1x2+b1x+6,g(x)=a23x+b2(a1,a2,b1,b2 R).
(1)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润;
(2)在同一直角坐标系下画出函数f(x)与g(x)的草图,并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况.
解:(1)依题意:由f1=6,f2=14,有a1+b1=0,4a1+2b1=8.
解得a1=4,b1 =-4,
f(x)=4x2-4x+6.
由g1=6,g2=8,有3a2+b2=6,9a2+b2=8.
解得a2=13,b2=5,
g(x)=133x+5=3x-1+5,
所以甲在今年5月份的利润为f(5)=86万元,乙在今年5月份的利润为g(5)=86万元, 故有f(5)=g(5),即 甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等;
(2)作函数图像如下:
从图中,可以看出今年甲、乙两个工厂的利润:
当x=1或x=5时,有f(x)=g(x);
当15时,有f(x)g(x);
当512 时,有f(x)g(x).
8.现有某种细胞100个,其中占总数12的细胞每小时分裂一次,即由1个细胞分裂成2个细胞,按这种规律发展下去,经过多少小时,细胞总数可以超过1010个?(参考数据:lg3=0.477,lg2=0.301)
解:现有细胞100个,先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数:
1小时后 ,细胞总数为12100+121002=32100;
2小时后,细胞总数为
1232100+12321002=94100;
3小时后,细胞总数为
1294100+12941002=278100;
4小时后,细胞总数为
12278100+122781002=8116100.
可见,细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为
y=10032x,xN+.
由10032x1010,得32x108,两边同时取以10为底的对数.得xlg328,
x8lg3-lg2.
∵8lg3-lg2=80.477-0.30145.45,
x45.45.
故经过46小时,细胞总数超过1010个.
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