高中数学三角函数综合检测题(北师大版有答案)
第一章 三角函数
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)=3sin(x2-4),xR的最小正周期为()
A.2 B.
C.2 D.4
【解析】 T=2=212=4
【答案】 D
2.化简sin(9-)+cos(-92-)=()
A.2sin B.2cos
C.sin +cos D.0
【解析】 sin(9-)+cos(-92-)=sin(-)+cos(2+)=sin -sin =0.
【答案】 D
3.函数f(x)=tan x(>0)图像的相邻的两支截直线y=4所得线段长为4,则f(4)的值是()
A.0 B.1
C.-1 D.4
【解析】 由题意知截得线段长为一周期,T=4,
=4=4,
f(4)=tan (44)=0.
【答案】 A
4.已知角的终边上一点的坐标为(sin 23,cos 23),则角的最小正值为
()
A.5 B.23
C.5 D.116
【解析】 ∵sin 20,cos 20,
点(sin 23,cos 23)在第四象限.
又∵tan =cos 23sin 23=-33,
的最小正值为2-16=116.
【答案】 D
5.要得到函数y=sin(4x-3)的图像,只需把函数y=sin 4x的图像()
A.向左平移3个单位长度
B.向右平移3个单位长度
C.向左平移12个单位长度
D.向右平移12个单位长度
【解析】 由于y=sin(4x-3)=sin[4(x-12)],所以只需把y=sin 4x的图像向右平移12个单位长度,故选D.
【答案】 D
6.设函数f(x)=sin(2x+3),则下列结论正确的是()
A.f(x)的图像关于直线x=3对称
B.f(x)的图像关于点(4,0)对称
C.把f(x)的图像向左平移12个单位长度,得到一个偶函数的图像
D.f(x)的最小正周期为,且在[0,6]上为增函数
【解析】 f(3)=sin(23+3)=sin =0,故A错;
f(4)=sin(24+3)=sin(3)=cos 3=120,故B错;把f(x)的图像向左平移12个单位长度,得到y=cos 2x的图像,故C正确.
【答案】 C
7.(2012福建高考)函数f(x)=sin(x-4)的图像的一条对称轴是()
A.x=4 B.x=2
C.x=-4 D.x=-2
【解析】 法一 ∵正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点,
故令x-4=k2,kZ,x=k4,kZ.
取k=-1,则x=-4.
法二 x=4时,y=sin(4)=0,不合题意,排除A;x=2时,y=sin(4)=22,不合题意,排除B;x=-4时,y=sin(-4)=-1,符合题意,C项正确;而x=-2时,y=sin(-4)=-22,不合题意,故D项也不正确.
【答案】 C
8.(2013西安高一检测)下列函数中,以为周期且在区间(0,2)上为增函数的函数是()
A.y=sinx2 B.y=sin x
C.y=-tan x D.y=-cos 2x
【解析】 C、D中周期为,A、B不满足T=.
又y=-tan x在(0,2)为减函数,C错.
y=-cos 2x在(0,2)为增函数.
y=-cos 2x满足条件.
【答案】 D
9.已知函数y=sin x3在区间[0,t]上至少取得2次最大值,则正整数t的最小值为()
A.6 B.7
C.8 D.9
【解析】 T=6,则5T4t,如图:
t152,tmin=8.
故选C.
【答案】 C
10.(2012天津高考)将函数f(x)=sin x(其中0)的图像向右平移4个单位长度,所得图像经过点(34,0),则的最小值是()
A.13 B.1
C.53 D.2
【解析】 根据题意平移后函数的解析式为y=sin (x-4),将(34,0)代入得sin 2=0,则=2k,kZ,且0,故的最小值为2.
【答案】 D
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,将答案填在题中的横线上)
11.已知圆的半径是6 cm,则15的圆心角与圆弧围成的扇形的面积是________cm2.
【解析】 1512,扇形的面积为S=12r2=126212=32.
【答案】 32
12.sin(-120)cos 1 290+cos(-1 020)sin(-1 050)=________.
【解析】 原式=-sin(180-60cos(3360+210)+cos(-1 080+60sin(-3360+30)
=-sin 60cos(180+30)+cos 60sin 30
=-32(-32)+1212=1.
【答案】 1
13.(2013江苏高考)函数y=3sin(2x+4)的最小正周期为________.
【解析】 函数y=3sin(2x+4)的最小正周期T=2.
【答案】
图1
14.已知函数f(x)=sin(x+)(0)的图像如图所示,则=________.
【解析】 由图像可知,
T=4(23)=43,
=2T=32.
【答案】 32
15.关于x的函数f(x)=sin(x+)有以下命题:
①对于任意的,f(x)都是非奇非偶函数;②不存在,使f(x)既是奇函数又是偶函数;③存在,使f(x)是奇函数;④对任意的,f(x)都不是偶函数.
其中假命题的序号是________.
【解析】 当=2k,kZ时,f(x)=sin x是奇函数;
当=(2k+1),kZ时,f(x)=-sin x仍是奇函数;
当=2k2,kZ时,f(x)=cos x或=2k2,kZ时,f(x)=-cos x都是偶函数.
所以①和④是错误的,③是正确的.
又因为无论取何值都不能使f(x)恒为零,故②正确.所以填①④.
【答案】 ①④
三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(本小题满分12分)已知角x的终边过点P(1,3).
(1)求:sin(-x)-sin(2+x)的值;
(2)写出角x的集合S.
【解】 ∵x的终边过点P(1,3),
r=|OP|=12+32=2.
sin x=32,cos x=12.
(1)原式=sin x-cos x=3-12.
(2)由sin x=32,cos x=12.
若x[0,2],则x=3,
由终边相同角定义,S={x|x=2k3,kZ}.
17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=Asin(x+)+2(A>0,>0)图像上的一个最高点的坐标为(8,22),则此点到相邻最低点间的曲线与直线y=2交于点(38,2),若(-2).
(1)试求这条曲线的函数表达式;
(2)求函数的对称中心.
【解】 (1)由题意得A=22-2=2.
由T4=38=4,
周期为T=.
=2T=2=2,
此时解析式为y=2sin(2x+)+2.
以点(8,22)为“五点法”作图的第二关键点,则有
28+2,
4,
y=2sin(2x+4)+2.
(2)由2x+4=kZ)得x=k8(kZ).
函数的对称中心为(k8,2)(kZ).
18.(本小题满分12分)(2012陕西高考)函数f(x)=Asin(x-6)+1(A0,0)的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设(0,2),f(2)=2,求的值.
【解】 (1)∵函数f(x)的最大值为3,A+1=3,即A=2.
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2,
最小正周期T=,=2,
函数f(x)的解析式为y=2sin(2x-6)+1.
(2)∵f(2)=2sin(-6)+1=2,
sin(-6)=12.
∵02,--3,
-6,=3.
19.(本小题满分13分)已知y=a-bcos 3x(b0)的最大值为32,最小值为-12.
(1)求函数y=-4asin(3bx)的周期、最值,并求取得最值时的x的值;
(2)判断(1)问中函数的奇偶性.
【解】 (1)∵y=a-bcos 3x,b0,
ymax=a+b=32,ymin=a-b=-12,解得a=12,b=1.
函数y=-4asin(3bx)=-2sin 3x,
此函数的周期T=23.
当x=2k6(kZ)时,函数取得最小值-2;
当x=2k6(kZ)时,函数取得最大值2.
(2)∵函数解析式为y=-2sin 3x,xR,
-2sin(-3x)=2sin 3x,即f(-x)=-f(x),
f(x)为奇函数.
20.(本小题满分13分)函数f1(x)=Asin(x+0,0,|2)的一段图像过点(0,1),如图所示.
图2
(1)求函数f1(x)的表达式;
(2)将函数y=f1(x)的图像向右平移4个单位,得函数y=f2(x)的图像,求y=f2(x)的最大值,并求出此时自变量x的集合,并写出该函数的增区间.
【解】 (1)由题意知T=,=2.
将y=Asin 2x的图像向左平移12,得y=Asin(2x+)的图像,于是=212=6.
将(0,1)代入y=Asin(2x+6),得A=2.
故f1(x)=2sin(2x+6).
(2)依题意,f2(x)=2sin[2(x-4)+6]
=-2cos(2x+6),xKb 1. Com
y=f2(x)的最大值为2.
当2x+6=2k(kZ),
即x=k12(kZ)时,ymax=2,
x的集合为{x|x=k12,kZ}.
∵y=cos x的减区间为x[2k,2k],kZ,
f2(x)=-2cos (2x+6)的增区间为{x|2k2x+2k,kZ},解得{x|k12k12,kZ},
f2(x)=-2cos(2x+6)的增区间为x-12,k12],kZ.
图3
21.(本小题满分13分)已知定义在区间[-3]上的函数y=f(x)的图像关于直线x=-6对称,当x[-6,23]时,函数f(x)=Asin(x+0,0,-2),其图像如图所示.
(1)求函数y=f(x)在[-3]上的表达式;
(2)求方程f(x)=22的解.
【解】 (1)由图像可知,A=1,T4=26=2,
T=2.
=2T=2=1.
∵f(x)=sin(x+)过点(23,0),
23+.
3.
f(x)=sin(x+3),x[-6,23].
∵当-x6时,--x-23,
又∵函数y=f(x)在区间[-3]上的图像关于直线x=-6对称,
f(x)=f(-x-3)=sin[(-x-3)+3]=sin(-x)=-sin x,x[-,-6].
f(x)=sinx+3,x[-6,23],-sin x,x[-,-6.
(2)当-x3时,x+.
由f(x)=sin(x+3)=22,得x+4或x+3=34,
x=-12或x=512.
当-x6时,由f(x)=-sin x=22,即sin x=-22得x=-4或x=-34.
方程f(x)=22的解为x=-12或512或-4或-3
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