训练14 反函数的概念

基础巩固 站起来，拿得到！

1.函数y= 的反函数是( )

A.y= (xR且x-4) B.y= (xR且x3)

C.y= (xR且x D.y= (xR且x- )

答案：C

解析：由y= ,得x= .故所求反函数为y= (xR且x3).

2.函数y= 的反函数是( )

A.y= B.y=

C.y= D.y=

答案：A

解析：当x0时,由y=x2,得x=- .故反函数为y=f-1(x)=- (x0).

当x0时,由y=- x,得x=-2y.

故反函数为y=f-1(x)=-2x(x0).

y=f-1(x)=-x,x0,

-2x,x0.

3.若函数f(x)的反函数f-1(x)=1+x2(x0),则f(2)等于( )

A.1 B.-1 C.1和-1 D.5

答案：B

解法一:由y=1+x2(x0),得x=- .故f(x)=- (x0),f(2)=- =-1.

解法二:令1+x2=2(x0),则x=-1,即f(2)=-1.

4.若函数y=f(x)的反函数是y=- (-10),则原函数的定义域是( )

A.(-1,0) B.［-1,1］ C.［-1,0］ D.［0,1］

答案：C

解析：∵原函数的定义域为反函数的值域,

又-10,

01,即y［-1,0］.

5.设y= +m和y=nx-9互为反函数,那么m、n的值分别是( )

A.-6,3 B.2,1 C.2,3 D.3,3

答案：D

解析：求出y= +m的反函数y=3x-3m,再与y=nx-9对比系数即得.

6.已知f(x)=x2-1(x2),则f-1(4)=______________.

答案：

解析：因为f(x)=x2-1,x2,所以其反函数为f-1(x)= (x3).

所以f-1(4)= .

7.求下列函数的反函数:

(1)y=- (-1

(2)y=-x2-2x+1(1

(3)y=

解：(1)由y=- ,得y2=1-x2,

即x2=1-y2.

∵-10,

x=- .

又∵y=- ,-10,

-10.

所求反函数为y=- (-10).

(2)由y=-x2-2x+1=-(x+1)2+2,得(x+1)2=2-y.

∵12,

23.

x+1= ,即x=-1+ .

反函数为y=-1+ (-7-2).

(3)①由y=x2(x0),得x=- ,即y=x2(x0)的反函数为y=- (x0).

②由y=-x-1(x0),得x=-y-1,即y=-x-1(x0)的反函数为y=-x-1(x-1).

由①②可知f(x)= 的反函数为f-1(x)=

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8.函数y=2|x|在下面的区间上,不存在反函数的是( )

A.［0,+］) B.(-,0)] C.［-4,4］ D.［2,4］

答案：C

解法一:函数若在区间上单调,则存在反函数,易知函数y=2|x|在［0,+),(-,0］,［2,4］上单调.

解法二:当x=4时,y=8,知不是一一映射.

9.函数f(x)是增函数,它的反函数是f-1(x),若a=f(2)+f-1(2),b=f(3)+f-1(3),则下面结论中正确的是( )

A.a B.a=b C.a D.无法确定

答案：A

解析：∵f(x)是增函数,故其反函数f-1(x)也是增函数,f(3)f(2),f-1(3)f-1(2),即ba.

10.已知f(x)=3x-2,则f-1［f(x)］=__________________;f［f-1(x)］=__________________.

答案：x x

解析：∵f-1(x)= ,

f-1［f(x)］= ［(3x-2)+2］=x,f［f-1(x)］=3 -2=x.

一般地,f［f-1(x)］与f-1［f(x)］的表达式总为x,但两个函数定义域不一定相同,故不一定是同一个函数.

11.函数f(x)=ax2+(a+2)x-1在xR上存在反函数,则f-1(1)=_______________.

答案：1

解析：依题意a=0,f(x)=2x-1,令f-1(1)=b,则f(b)=1,即2b-1=1 b=1.

12.已知函数f(x)= (x ).

(1)求它的反函数;

(2)求使f-1(x)=f(x)的实数a的值;

(3)当a=-1时,求f-1(2).

解：(1)设y= ,∵x-a,反解得(y-3)x=2-ay.

若y=3,则a= 与a 矛盾.

y3.x= .

f-1(x)= (x ).

(2)当f-1(x)=f(x)时,有 ,

整理得(a+3)x2+(a2-9)x-2(a+3)=0.

a+3=0,即a=-3.

(3)当a=-1时,由(1)知f-1(x)= .

f-1(2)=-4.

13.已知f(x)=( )2(x1),

(1)求f(x)的反函数f-1(x),并求出反函数的定义域;

(2)判断并证明f-1(x)的单调性.

解：(1)设y=( )2 x= ,又x1,

y1,即f-1(x)= ,f-1(x)的定义域为［0,1］.

(2)f-1(x)在［0,1)上单调递增.

证明如下:设0x21,0 1.

f-1(x1)-f-1(x2)= 0.f-1(x)在［0,1］上单调递增.

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14.要使函数y=x2-2ax+1在区间［1,2］上存在反函数,则a的取值范围是( )

A.a B.a C.a1或a D.12

答案：C

解析：由已知得函数y=x2-2ax+1在区间［1,2］上单调,则a1或a2.

15.已知函数y=f(x-1)的反函数为y=f-1(x-1),且f(1)=2,则f(2)的值为______________.

答案：1

解析：y=f-1(x-1) x-1=f(y) x=f(y)+1,

故y=f-1(x-1)的反函数为y=f(x)+1.

故f(x-1)=f(x)+1,即f(x)=f(x-1)-1,

则f(2)=f(1)-1=1.

16.(1)已知f(x)= (a、b、c是常数)的反函数是f-1(x)= ,求a+b+c的值.

(2)设点P(-1,-2)既在函数f(x)=ax2+b(x0)的图象上,又在f(x)的反函数的图象上,求f-1(x).

解：(1)设y= ,解得x= ,

即f-1(x)= ,

因此, ,

由对应项系数相等得a=3,b=5,c=-2,

a+b+c=6.

(2)点P(-1,-2)在f(x)=ax2+b上,则-2=a(-1)2+b, ①

又∵点P(-1,-2)在f-1(x)上,

点(-2,-1)在f(x)上.

-1=a(-2)2+b. ②

由①②联立,解得a= ,b=- .

f(x)= x2- (x0).

f-1(x)=- (x- ).

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