解析几何中求参数取值范围的方法

近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法：

一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式

曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-aa，-bb，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法。

例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a0）， A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0 ， 0）

求证:-a2-b2a a2-b2a

分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.

解: 设A，B坐标分别为（x1，y1） ，（x2，y2），（x1x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 x2+x1 y2+y1

又∵线段AB的垂直平分线方程为

y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）

令y=0得 x0=x1+x22 a2-b2a2

又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点

-aa， -aa， x1x2 以及-ax1+x22 a

-a2-b2a a2-b2a

例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF FQ=1，若 12 2 ，求向量OF与FQ的夹角的取值范围.

分析:须通过题中条件建立夹角与变量S的关系，利用S的范围解题。

解: 依题意有

tan=2S

∵12 2 1 tan4

又∵0

4

例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ||a|，则a的取值范围是

A a0 B a2 C 02 D 0 p

分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ||a| 求解.

解: 设Q（ y024 ，y0） 由|PQ| a

得y02+（ y024 -a）2a2 即y02（y02+16-8a） 0

∵y020 （y02+16-8a） 0即a2+ y028 恒成立

又∵ y020

而 2+ y028 最小值为2 a2 选（ B ）

二、利用判别式构造不等式

在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解。

例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是

A [-12 ，12 ] B [-2，2] C [-1，1] D [-4，4]

分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△0

解:依题意知Q坐标为（-2，0） ， 则直线L的方程为y = k（x+2）

由 得 k2x2+（4k2-8）x+4k2 = 0

∵直线L与抛物线有公共点

△0 即k21 解得-11 故选 （C）

例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围。

分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式。

解：由 得 （k2-2）x2 +2kx+2 = 0

∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2 p

四、利用三角函数的有界性构造不等式

曲线的参数方程与三角函数有关，因而可利用把曲线方程转化为含有三角函数的方程，后利用三角函数的有界性构造不等式求解。

例8 若椭圆x2+4（y-a）2 = 4与抛物线x2=2y有公共点，求实数a的取值范围。

分析: 利用椭圆的参数方程及抛物线方程，得到实数a与参数的关系，再利用三角函数的有界性确定a的取值情况。

解：设椭圆的参数方程为 （为参数）

代入x2=2y 得

4cos2= 2（a+sin）

a = 2cos2-sin=-2（sin+ 14 ）2+ 178

又∵-1sin1，-1178

例9 已知圆C：x2 +（y-1）2= 1上的点P（m，n），使得不等式m+n+c0恒成立，求实数c的取值范围

分析:把圆方程变为参数方程，利用三角函数的有界性，确定m+n的取值情况，再确定c的取值范围。

解：∵点P在圆上，m = cos，n = 1+sin（为参数）

∵m+n = cos+1+sin = 2 sin（4 ）+1

m+n最小值为1-2 ，

-（m+n）最大值为2 -1

又∵要使得不等式c-（m+n） 恒成立

c2 -1

五、利用离心率构造不等式

我们知道，椭圆离心率e（0，1），抛物线离心率e = 1，双曲线离心率e1，因而可利用这些特点来构造相关不等式求解。

例10已知双曲线x2-3y2 = 3的右焦点为F，右准线为L，直线y=kx+3通过以F为焦点，L为相应准线的椭圆中心，求实数k的取值范围.

分析:由于椭圆中心不在原点，故先设椭圆中心，再找出椭圆中各量的关系，再利用椭圆离心率01，建立相关不等式关系求解.

解：依题意得F的坐标为（2，0），L:x = 32

设椭圆中心为（m，0），则 m-2 =c和 m-32 = a2c

两式相除得: m-2m-32 = c2a2 = e2

∵01，01，解得m2，

又∵当椭圆中心（m，0）在直线y=kx+3上，

0 = km+3 ，即m = - 3k ，

- 3k 2，解得-32 p

上面是处理解析几何中求参数取值范围问题的几种思路和求法，希望通过以上的介绍，能让同学们了解这类问题的常用求法，并能认真体会、理解掌握，在以后的学习过程中能够灵活运用。

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