实录：中考数学冲刺备考策略与重点串讲(28日)_考前复习

实录：中考数学冲刺备考策略与重点串讲(28日)

直播嘉宾：鲍敬谊，北大附中数学中考把关名师，北京是数学学科带头人。

直播时间：5月28日 20：0021：00

直播频率：FM107.3；AM1026

主持人：鲍老师正在带初三的毕业班，对于中考的数学领域绝对是非常有权威的。因此大家不要错过这个好机会，有什么需要问的数学复习中的问题，赶快在我们直播中发送手机短信，到10628821073，拨打热线电话65150822、65150833，来提出。

鲍敬谊：好的。离中考还有不到一个月的时间了，那么在这20多天的时间里，怎么样再把咱们的成绩提高一下，现在咱们就和广大的考生朋友交流一下，提供一些参考建议。

要知己知彼，才能百战不殆。咱们要先了解人家出什么题，考什么内容，所以这件事情是同学们必须要熟悉的。

根据历年的中考试题，试卷结构同学们应该是很熟悉了，一共是25道题，这里面有8道选择题，32分。还有4道填空题，16分。还有13道解答题，72分。这样的话，就组成了这份试卷，那么在这份誓愿里面，其中的第8小题，也就是选择题的最后一道题，还有12小题，就是填空题的最后一道小题，在小的题目里面是一个难度的高峰，所以同学们对这一块，当见到第8题和第12题的时候，到这儿不会做了，马上，不要着急，因为这个地方确实是一个小的难度高峰，咱们先把它跳过，先把会做的题，咱们先把它做对了它，其中在这120分的总分中，比较容易的题目，占了60分，中等的题目占了36分，这样的话，送分题就已经送给大家96分了，那么较难的试题里面，它还设成几问。这样在这前一两问里面你又能得到一些分数，也就是说这一份试卷，你只要把会做的题做对了，105分，应该是没有问题的，很轻易地拿到，但是如果你把前面的小题给做错了，不小心，没有仔细地去审题，这样的话呢，它题小，分不少，一道小题4分，这样就很难拿到高分。

这是咱们说的试卷的25道题，试卷结构。下面咱们再看人家考什么。人家考怎么咱们就准备什么，因为这一段时间就是要拿分，提分了，考什么，在哪儿呢？在《考试说明》上呢，很多同学都不看这个《考试说明》，认为，反正是发了，我也不用看，就作题就行了。其实不是，《考试说明》是我们复习内容的一个指南针，它说什么咱们就做什么，比如说《考试说明》上人家说了，分式方程要转化成一元一次方程就行了。绝对不会考转化成的是一元二次方程，如果在考试的时候，基于分式方程，你在做的过程当中发现了是一个一元二次方程，那么马上就要提醒自己，肯定是做错了。所以这样的话呢，《考试说明》一定要从头到尾地看一下，特别是《考试说明》上的C要求，同学们更要特别关注，那肯定是差不多是必考的内容。

主持人：所以这基本上都不用老师去押题了。

鲍敬谊：对对对，25道题，实际上每一道题的知识点是什么，我们自己能把它排列出来，当然它具体考哪个题我们不知道，但是它哪道题承载的呢个知识，我们差不多是能够猜出来的。那这样的话，知道人家考什么了，咱们再看看但是有什么工具，咱们初中三年学了六本书，那同学们就要这六本书找来，把这六本书的知识进行梳理，那怎么梳理也有一个技巧的，不是说从第一册到第二册，然后到初三的上下册，这样去看。我们要把这六本书按照纵向，把它梳理出来。比如说我们可以按照课程标准上的数与代数，这一块内容，空间与图形这一块，统计与概率，三大块内容进行梳理，还可以怎么去梳理呢？其实我更建议大家区别从图形的本质特征上去梳理。比如说常见的轴对称图形有哪些？那这些图形呢，你就要把它的性质非常熟悉，比如说这个角，它是一个轴对称图形，角平分线所在的直线就是它的对称轴。那么角有什么性质呢？像角平分线这个东西。我们经常在作题的时候，见到角平分线往往就要翻折，这是因为角平分线的本质特征决定的，所以角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，到角两边距离相等的点在这个角平分线。这样的话呢，在题目中，如果出现了角平分线，那么关于角平分线做辅助线的问题，基本上同学们就会了。一翻折，或者向角两边做垂线，常见的。

再比如，这轴对称图形这线段，线段的垂直平分线也是出现频率比较高的。我们和这个角平分线一起来把它弄清楚。还有一个特别重要的图形是等腰三角形，等腰三角形里面有一个大定理，我们叫三线合一定理，如果是等腰三角形，那么它底边上的中线、高线和顶角的角平分线是合一的，是一条线。所以在等腰三角形里面做图的时候，我们经常要把那条轴给它做出来，所以这是等腰三角形里面常见的辅助线。这里边有一个特殊的等腰三角形，就是等边三角形，等边三角形按照那轴，我们把它一切下来，就变成了一个30度角的直角三角形，这个定理也特别常见，但是同学们在做题的时候了，可能是由于考试紧张，就没有分清，很多同学在用这个定理的时候没有分清哪条边是哪条边的一半。比如说有的同学说，这30度角是60度角的一半，所以30度角对的边就是60度角对的边的一半。那你要这么记的话，这定理不就记错了吗？是30度角所对的直角边是斜边的一半，就是我们常用的那两块三角板，同学们得特别熟悉，在作题里面，这两块三角板出现的频率会非常高。也就是说要把定理的题设和结论，一定要记清楚它。

比如说还有哪些图形呢？四边形里面的矩形，也是一个轴对称图形。菱形也是，那么菱形的对角线的性质同学们要特别注意，其实菱形的性质，本质上就是等腰三角形的那三线合一的性质，同学们看一看，那菱形不就由两个等腰三角形组成的吗？对角线平分一组对角，恰好就是等腰三角形那个轴是角平分线，是吧。所以菱形的性质要把它和三线合一的那性质统一起来。比如说还有一个特殊图形，正方形。考的频率就更高了。它既是中心对称图形，也是轴对称图形，它的轴也是非常多的。有几条对称轴呢？有四条对称轴，除了圆以外，它的对称轴是最多的了，所以考它的频率也特别高。还有一个就是圆，圆也是一个轴对称图形。那么垂径定理，就是轴对称性的一个体现，所以同学们一定要把垂径定理要把它记清楚。特别是那个小直角三角形，在计算题里面经常和勾股定理进行联合起来使用。那么常见的中心对称图形，同学们整理一下，有哪些？比如说线段，那么线段的中点就是这个线段的对称中心，所以我们在做关于中点的题目的时候，经常有同学说倍长中线，那么倍长中线，我们实际上就是在做中心对称。还有平行四边形，是一个重要的中心对称图形。一个三角形绕着一个顶点一旋转，转180度就能够给它转出平行四边形来，所以过平行四边形中心的任意一条直线，都能那个平行四边形分成两块全等的图形。还有一个重要的图形就是圆，圆的中心对称性，那么是哪个定理来体现的呢？圆里边的圆心角，圆心角所对的弧、所对的弦之间关系定理，很好地体现了圆的旋转不变性。那么同学们在圆周角的问题的时候，有的同学就找不好，说圆周角，为什么圆周角会出现难点呢？因为圆周角它会跑，我们怎么叫它会跑呢？圆周角，同弧所对的圆周角它都是相等的，它在不同的位置上，它的角度是一样的，那么在解决圆周角的问题上，我们就要抓住它哪些东西不跑，比如说这圆周角所对的那个弧所对的圆心角是不跑的，那么圆周角的问题呢，就经常转化到圆心角哪儿去，因为圆心角是不动。还有一种转化办法，让圆周角跑到一个特殊的位置上，跑到哪个特殊位置上呢？让角的一条边过圆心，这样就会构成直径所对的这个圆周角，是90度，或者这个圆周角有一条边是直径，这样的话，就会构成直角三角形，所以圆周角的问题，经常就是往这两个地方上去转化。这样就是熟悉人家的考试要求。

主持人：鲍老师让大家不要线性的去复习，应该要分门别类地去复习。其实鲍老师给大家伙提供了三大块内容，一个是数和代数，空间和图形、统一和概率是三大块内容，但是您更倾向于认清图形的本质。

鲍敬谊：对，因为图形这一块呢，同学们是，虽然它的分值在中考试卷里面它大约占了46分，它没有数与代数占得多，但是同学们实际上数与代数不太怕，怕的就是这图形。所以我重点把这图形这儿说了一下。

主持人：针对这个薄弱的环节，我应该怎么去应付它，比如说我应该这个时候怎么样去复习，在考试过程当中应该怎么针对这部分的内容去考试？

鲍敬谊：比如说统计概率，咱们先说这十几分，这十几分非常容易得到。首先这几个统计量，你熟悉不熟悉？如果是你很熟悉了，那这块内容就过了，就不用再熟悉了，比如你不熟悉，像我们这次各区的一模考题，同学们刚考完，都要考一个统计量的认识，关于平均数、中位数、众数，这是表示数据集中趋势的，还有一个是级差、方差、标准差是表示数据的离散程度的，那么这几个量容易混淆的，比如说平均数和中位数，那么有的同学在选平均数和中位数的时候，他就闹不清楚，就容易选错。平均数说的是什么，是把所有的这些数据都求和，然后让每一个数都相等，假设每一个数都相等，除以总个数，这样出来的。而中位数说的是什么事？说的是排在中间位置的那个数，有人问了，怎么叫排在中间呢？谁都可以排在中间吗？所以我们就要先把它们排序，按从小到大，或者从大到小的顺序把它排好了以后，处在中间位置的，那比如说我举一个例子，我们班平均分是85分，那么小明同学考了86分，小明就说，我分数要比平均分要高，所以我在我们班是中上等。你看，这实际上就是有问题的，平均数能不能代表中上等？显然是不能的。你比如说很多同学考的分数都挺高，除了小明以外，还有比如说三个考零分的，那这样一平均的话，那平均分就是85分，小明虽然考86分，但是他有可能是倒数第四名，所以像这种平均数和中位数，要把它弄清楚。众数，一般同学们理解起来问题不大。还有这个级差、方差和标准差，这是表示离散程度的，这个方差数值越大，那么数据的离散程度越大，标准差跟方差是什么关系呢？标准差就是方差，求算术平方根，这样有一个什么好处呢？那就单位跟原来一致了。比如原来是米，那么方差就变成平方米的单位，但是标准差又回来，又是米了。那级差呢？级差就更加，它只是两个极端值的差异，最大值和最小值的差异。这样的话，你看统计的分数很容易就得到了。下面还有统计图，这个我看同学们问题都不大。

概率，一道小题，比如说摸球，在审题的时候，你要注意这摸球是放不放回去？像摸卡片这种的，所以不会做的时候呢，我们就捉几个这样的题，比如说各区的一模考题，每个区里面都有一道这样的概率的题，我们就把它择出来，专攻它。当你做了七八道题以后，你这个统计与概率这一块就没有问题了。

主持人：最后这不到一个月的时间，针对不同类型的考生，比如说高分的考生，中等生，基础比较差的这些学生，应该怎么样去复习？

鲍敬谊：每个同学考试成绩不一样，基础不一样，比如说现在有的同学考分90多分，或者说还没有到90多分，那这样的学生提分空间非常大，很容易就提高10分，那怎么才能提高10分呢，确保你会做的题不要把它做错了，一次把它做对，这样怎么训练呢？拿历年的北京市的中考题，你就先把容易题，你会做的题你先勾出来，不会做的题咱先放一边，先勾我会做的题，勾完以后我就去做，看我做完用多长时间，是不是一次做对了？这样你做了比如说三五套题以后，你就特别有感觉了，原来这样的题我一下就能做对。这样在考试的时候你就不慌了，见到这样的题，你看我一次就能做对，我就不会像有的同学跟我说，老师，说这题我做完了我会做，可是我老是不放心，我老担心它错。你看，你这样的话，心里边你老放不下这道题，你带着这样的忧虑去做下一道题的时候，你肯定不能全身心地投入到下一道题当中去，所以一定要拿出这样的题目来训练一下，训练它三五次，那么你就有把握了，不管你是什么程度的考生，这一步都是必须要做的。关键题的时候，容易题一定不丢分，这个非常关键。

再说对于一百零几分的考生，一百零几的考生，我就发现有些孩子不是不会做，是能做，他是不敢做，或者说思考问题的方法没有，比如说有一道题，前两天有一个同学问我了，因为都一模完了以后，同学们都开始做各区的考题，我们班有一个学生做东城区的考题，东城区有一个考题就说，假如说有一个点D，在抛物线上，但是这D点坐标没给，它给的是一个关于M的值，叫做代数式吧。这样的话，人家说了，这个点做这条直线的对称点是E，求这E点坐标。这孩子他就不知道把这D点坐标求出来，他就老盯着E点来求，我说E点是哪儿来的呢？是D定生成的，没有D点怎么会有E点呢？我说你把D点坐标先写出来吧，会写了。写完了以后呢，又不会做了。我说为什么又不会做了啊？他没画图，我说你看你不画图你怎么能把E点坐标求出来呢？咱们要先把它的图形画出来，先找到这个点，然后再求啊。我说你把它画出来吧，这个点它会画，画完以后又求出来了，你看这个题，是不是这同学自己就能把它解决掉呢？所以他就是对自己没有信心，他就是属于考试经常在数学上考一百零几分，经常是考一百零一二分，这样的话，我说你看，建立自信心，把这样的题，就是这个23题，24题这样的，中档偏上，难度稍微大点的题目做它点，二次函数，抛物线的那种题目，他也是，他说老师我一见到这种题我也害怕。我说那你第一个问题求解析式能不能做对了？他说我能做对了。能做对就好，下面人家怎么说咱们就怎么做，比如人家要求这三角形的面积，或者求这四边形的面积，我问你怎么求。他说，老师说了，这四边形，它的各边跟轴不平行，经常是这样的四边形，老师说得切一下，我说为什么要切啊？说不清楚。你抓不住这本质，为什么要切？就是因为求它的面积，或者求这条边长，不是和轴平行的，不好求，我们要把它转化成跟轴平行的，所以我经常过其中的一个顶点做X轴或者是Y轴的垂线，这样就把它切成了跟轴平行的这样几块图形，这是一种求面积的办法。还有一个是什么呢？把这个图形框到一个比如说是矩形，或者是梯形，这样让它的边和轴平行，给它框一框里面去，然后用那个大框，减去你周围的你不需要的那块图形的面积，这样其实也是转化到和轴平行的线段的长度上去。那么实际上在解决坐标系里面的问题的时候，只需要会把坐标和长度，我老说这四个字，互相转化，其实就解决掉了。

那么还有一些孩子程度比较好了，能考到110分以上了，甚至更高。那么这种孩子怎么办呢？除了刚才不出错以外，还要稳住自己，在总结题型和常用的解题方法上要下功夫。比如说有一些题型，抛物线的，跟四边形、三角形、运动，点动，或者是直线动，或者抛物线动，把它结合起来，或者是几何里面，比如说旋转，什么时候能想到旋转啊？压轴题基本上在旋转，轴对称平移这个地方，那么孩子们就有点害怕这最后一道题，最后一问。那这时候你就想，这题目中有什么可能性，给你什么条件了？我经常说给了什么原材料了，人家给中点了，那就想什么跟中点有关系？我们就把中点跟它有关系的几条路找到吧。比如说第一个，要找直角三角形，直角三角形斜边中线这个定理。你看，这个点如果正好在这斜边上，这不就是用这个定理吗？那么中点还经常找谁呢？找等腰三角形，看它是不是在底边上的中点，是不是轴实际上就是，因为等腰三角形是轴，三线合一这个性质，那么中点还可以找谁呢？比如说找另外一个中点，构成三角形的中位线，这个定理，你看，一定要用中位线找，或者是见到中点还可以做什么呢，经常我们说的倍长中线，实际上就是字中心对称图形，那你看，中点，解决中点问题就这么几条道。再看人家题目中给的已知条件，哪个已知条件能用上，我们就往那条道上走，这是解决中点的。

比如说我们再说一个，经常是几何题里设未知数，求线段长度，设未知数以后，我们要列一个方程把它解出来，列方程经常用什么知识来列呢？这你也要总结，比如说我们经常用到勾股定理，这个可以，直角三角形，列一个方程出来，还可以相似，相似也构造关系，等式，那么方程就出来了。如果是直角三角形呢，我们还经常用三角函数，还有的时候用面积相等，不同的底和高，我们列一个方程，你看列方程的思想，基本上就这四招，也就出来了，所以要善于总结题型和常用的解题方法。

主持人：鲍老师先给我们8810这位学生回答问题，他说老师我做数学卷子，24、25这两道题的时候，经常没思路，或者时间不够了。他说我这应该怎么办？我觉得这是不是牵扯到我们在现场考试当中需要的一些个策略了？

鲍敬谊：对，一个你要把前面容易题，快速地做完，这非常关键，我们说你做完一个扔一个，做完一个扔一个，这样剩的题越来越少，新里边就很轻松，这样再做第24题，第25题，24题、25题，第一问你肯定是能把它做出来的。如果第一问你在这儿耽误时间了，那你肯定是题目条件没有认清，大部分情况都是这样的，孩子做题，第一问我就不会。我说你再读一遍题，马上就会了。所以这样的话，你看，第一问拿到了吧，但是一定要把它做对了。因为你第一问要是做错了，你后边全对，思路都对，没人给你分了，不给思路分。所以确保第一问做对。那么第二问，有的同学就说了，没有思路是指哪一块没有思路？那你比如说，人家题目中给的条件，给咱们角的一个正切值，假如说，这个角是不在直角里面呢，如果它不在直角里面，那你要把它构造直角，或者你把这个角转移，转移到某一个跟它相等的角里面去，总之，你要把它放到直角三角形里面来考察，你看这样就是思路，或者人家让你证明，这两条线段的和，等于另外一条线段，那就典型的就是截长补短，这条线段长，我们把它截一段，至于截完以后要看人家条件，你像海淀区一模的最后一道题，同学们都反映说比较难，那就是典型的一个截长补短的问题，但是你截的时候从哪儿截也很关键，题目中给了中点了，我们刚才说了，中点它的本质属性是一个中心对称的图，中心对称的那个中心，这样你在截的时候，就要关于中心，对称着来截，这样的话，这题很容易就出来了。

主持人：也就是说，我们在即便解答最后的拔高题的时候，实际上也是有它的技巧的。但是鲍老师刚刚谈到，首先第一说，如果第一问你都说不会答，那肯定是你题目没有审清楚。

鲍敬谊：对。特别是前面的那些题目，有的同学说从我的18题上就卡住了，那这时候肯定是，如果你实力比较强的话，平常考试都能考到108分以上，那肯定是已知条件没有看清楚，还有的时候有同学说，比如说第24题，第25题，我第二问不会，我第三会做，那也行啊。那就第二问，咱们就把它当成已知条件来使，在第三问上，没有问题。你把第三问做对了，照样给分。

主持人：那么关于我们这个审题有一些什么样的技巧吗？你比如说我们在这个考试过程当中，这个题如果要是真的没审清楚，我们应该怎么样从哪些个，通过什么样的办法，能够把它读得明白。

鲍敬谊：审题这个我经常给同学们讲两个字，对弈。什么叫对弈呢？就是把用文字叙述的语言，翻译成数学语言，这件事特别重要，比如说人家说X轴上有一个点，过这个点做X轴垂线，跟抛物线交出一点来，那么这点的生成顺序你要注意，先有谁后有谁，这是要注意的，还有你比如说，海淀区一模第23题，人家说抛物线与Y轴交点为M，你读到这儿的时候，你是不是得把M点的坐标写出来呀，因为M点出来了嘛，对吧。人家下边又说了，抛物线与X轴的一个交点，你看，这抛物线与X轴交点你会求吧，你得把它求出来吧，这就是翻译这话，你求完，不止一个，你求出俩，那就得分类了，是哪一个，你选哪一个，所以两条道出来了，然后又说了，说这个焦点，关于直线外，等于负X的对称点，那你得把对称点找出来吧，坐标写出来吧，写出来以后怎么样了呢？恰好是点M，这不就跟点M坐标一样了吗？你看。就是翻译中国话，你把它翻译好了就行了。

我们再说一个，一元二次方程，人家说了，比如M减1倍的X平方加2X等于零，是一个一元二次方程，那你得翻译出什么出来？你得翻译出来二次项系不为零，M不能等于1，如果人家没说，就说关于X的方程，那就得分类了，第一类是M得1，怎么样，第二是M不得1，这样的。

主持人：那我们在答题过程当中，有没有一些什么样的技巧？

鲍敬谊：答题的技巧还是会做的要把它做对，我一个劲地重复这句话。还有就是一些，这题一看，我没见过，或者猛一看我不会做，一定不要着急。为什么？因为出题的老师，在当年的恩他出的考题中一定会跟以前的那个考题，会发生一些变化，当然是在稳定中求变化，肯定会有变化，但一定是稳中有变，变的题目一般来说也不会太多，有一道题或者两道题，有一些新的内容，新的题型，让同学们不要害怕，这种题对你是新的，对他也是新的，有一些它是题面新，但是你静下心来去思考，是能把它想出来的。就是那种特别繁，特别难的题目，一般来说现在考得很少。所以你只要静下心来你去做，一般你能把它理解下来的，如果真不会，真不会就放弃好了，因为你不会他也不会，大家都不会，不影响你的排名，因为最后录取不就是按排名来录取吗？

主持人：是。当然了，得分当中也是有一些个讲究的，尤其是在最后的两道拔高题的时候。

鲍敬谊：对。比如说就最后两道题了，他说我一点都不会。但是千万不能不写，你要不写的话，老师想给你找问都没地儿找去，那能写什么东西呢？你会哪儿你就写哪儿，比如说人家说了，这方程或者抛物线与X轴有两个交点，我就知道是大于零，我就知道二次项系数不为零，那你就把它写上。你要在再会求出来，你也把它写上，这一般同学都是会的。但是下面不会了，你起码这个写上，你这个写上可能就得分了，结果有一些学生以为，我写了也没有用，我就划掉了，一划掉了，哪怕是能得分的，因为你划掉了嘛，所以最后老师还是不能给你分。所以我建议同学们在写的时候不要往草稿纸上写，有一些学生是习惯先在草稿纸上写，再抄一遍，没有这么多的时间，我们在考生的时候，地方都比较大，你就往这儿写好了。

主持人：对，能写就写，但是也不要过多地浪费时间，写出一些关键点来，尤其是一些得分点，这个是非常重要的，而且相信我们的判卷的老师，还是希望能够让学生们多得一些分数，能够找分的地方还是会尽量去给他找分的。

鲍敬谊：对对对，看一下历年的评分标准。

主持人：请鲍老师回答一位听发来的手机短信的问题，这位考生对动手操作的题型总是不开窍，应该怎么办呢？

鲍敬谊：动手操作题，确实是，这几年考察的力度也比较强，因为几何变换，平移、旋转、折叠就是轴对称，这样的话，考察的力度比较强，考题也经常出现。如果考题中有这样动手操作的题目，如果我给你一张纸，你就可以折一折，那么你就折一下，因为考试的时候，老师是发给每个同学一张草稿纸的，这个草稿纸考完试以后，老师是要收回去的，那么你把它撕下一小块来折一下，收草稿纸的时候你只需要把这些碎片也还给老师就可以了。

主持人：好的，非常感谢北大附中的中考把关名师鲍敬谊鲍，今天在节目当中来给大家对中考数学冲刺和备考策略和重点进行了详细的串讲。欢迎您明晚同一时间20：0021：00锁定频率，继续收听《教育面对面》。

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