中学趣味数学:四片果树林
斯隆先生有四片果树林分别种了苹果树、柠檬树、柑橘树和桃树。
(1)果树林的果树都成行排列,每片果树林中各行的果树棵数相等。
(2)苹果林的行数最少,柠檬林比苹果林多一行。柑橘林比柠檬林多一行,桃树林又比柑橘林多一行。
(3)有三片果树林,每片果树林四周边界上的果树与其内部的果树棵数相等。
在这四片果树中,哪一片边界上的果树与其内部的果树棵数不相等?
(提示:用代数式表示(3)中提到的那三片果树林边界上果树的棵数和内部果树的棵数。对于这三片果树林的相邻边上果树的棵数,只有四对可能的值。)
答 案
如图所示:
根据{(1)果树林的果树都成行排列,每片果树林中各行的果树
棵数相等。},设{(3)有三片果树林,每片果树林四周边界上的果树与其内部的果树棵数相等。}中提到的三片果树林的两条相邻边上果树的棵数分别为x和y。于是边界上果树的棵数等于(y+y)+(x-2)+(x-2),即2y+2x-4;而内部果树的棵数等于(x-2)(y-2)根据{(3)有三片果树林,每片果树林四周边界上的果树与其内部的果树棵数相等。},
2y+2x-4=(x-2)(y-2)
解出x,
于是y必须大于4,而y-4必须整除4y-8。
经反复试验,得出以下四对数值:
(这里是全部可能的数值,因为(4y-8)/(y-4)等于4+8/(y-4),要使8/(y-4)为正整数,y必须是5、6、8或者12。)
根据{(2)苹果林的行数最少,柠檬林比苹果林多一行。柑橘林比柠檬林多一行,桃树林又比柑橘林多一行。},一定是苹果林有5行,柠檬林有6行,柑橘林有7行,桃树林有8行。
由于有7行果树的柑橘林不能满足条件(3),所以边界上的果树与内部的果树棵数不相等的果树林是柑橘林。
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