中学趣味数学:两枚还是三枚
有一种硬币游戏,其规则是:
(1)有一堆硬币,共十二枚。
(2)双方轮流从中取走两枚或三枚硬币。
(3)谁取最后一枚硬币谁输。
Ⅰ.阿曼德和比福德在玩这种游戏,阿曼德开局,比福德随后。
Ⅱ.双方总是尽可能采取能使自己获胜的步骤;如果无法取胜,就尽可能采取能导致和局的步骤。
这两人中是否必定会有一人赢?如果这样,谁会赢?
(提示:首先判定当只有一枚硬币要你取的时候,你是处于稳操胜券的地位,还是处于注定要输,或者导致和局的地位;然后,判定当只有两枚硬币要你取的时候,你是处于稳操胜券的地位,还是处于注定要输,或者导致和局的地位;如此进行,直至判定有十二枚硬币要你取的情况。)
答 案
根据{Ⅱ.双方总是尽可能采取能使自己获胜的步骤;如果无法取胜,就尽可能采取能导致和局的步骤。},如果有一方能够取胜,那他一定要取胜。如果一方能够逼和(假定他不能取胜),那他一定要逼和。
根据(2)和(3):
(a)当这堆硬币中只有一枚硬币要取的时候、显然游戏只能以和局告终,因为谁也不能取。
(b)当这堆硬币中有两枚硬币要取的时候,取者必输。这是因为他必须取走这两枚硬币。
(c)当这堆硬币中有三枚硬币要取的时候,取者只能采取逼和的策略。这是因为如果他一下子把三枚硬币全都取走,那他就输了;于是他只取走两枚硬币,这样对方就不能取了。
(d)当这堆硬币中有四枚硬币要取的时候,取者可以取走两枚硬币从而获胜,因为这样就使对方陷入了只有两枚硬币要取的必败境地。如果他取走三枚硬币游戏就以和局告终。
(e)当这堆硬币中有五枚硬币要取的时候,如果取者能够留下一定枚数的硬币从而使对方陷于必败的境地,那他就赢了。因此,他取走了三枚硬币,使对方陷入了只有两枚硬币要取的必败境地。
(f)当这堆硬币中有六枚硬币要取的时候,取者只能采取逼和的策略。他可以取走三枚硬币,这就造成了有三枚硬币要取的必和局面。如果他只取走两枚硬币,就把有四枚硬币要取的必胜机会留给了对方。
按照这样的推理,我们可以发现,当这堆硬币中有两枚、七枚或十二枚硬币要取的时候,取者注定要输;当这堆硬币中有四枚、五枚、九枚或十枚硬币要取的时候,取者稳操胜券;这堆硬币中有一枚、三枚、六枚、八枚或十一枚硬币要取的时候,游戏必以和局告终。
下列三表总结了这三类情况分别是怎样注定导致失败、怎样稳步走向胜利和怎样以和局告终的。
根据{(1)有一堆硬币,共十二枚。},开始时有十二枚硬币。由于十二枚硬币是注定要输的局面,谁开局谁必输。根据{Ⅰ.阿曼德和比福德在玩这种游戏,阿曼德开局,比福德随后。},是阿曼德开局,故阿曼德必输。因此比福德必赢。
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