高二数学知识点：判断充分与必要条件的方法_试卷分析

高二数学知识点：判断充分与必要条件的方法

一、定义法

对于“?圯”,可以简单的记为箭头所指为必要,箭尾所指为充分。在解答此类题目时,利用定义直接推导,一定要抓住命题的条件和结论的四种关系的定义。

例1已知p:-2

分析条件p确定了m,n的范围,结论q则明确了方程的根的特点,且m,n作为系数,因此理应联想到根与系数的关系,然后再进一步化简。

解设x1,x2是方程x2+mx+n=0的两个小于1的正根,即0

而对于满足条件p的m=-1,n=,方程x2-x+=0并无实根,所以pq。

综上,可知p是q的必要但不充分条件。

点评解决条件判断问题时,务必分清谁是条件,谁是结论,然后既要尝试由条件能否推出结论,也要尝试由结论能否推出条件,这样才能明确做出充分性与必要性的判断。

二、集合法

如果将命题p,q分别看作两个集合A与B,用集合意识解释条件,则有:①若A?哿B,则x∈A是x∈B的充分条件,x∈B是x∈A的必要条件;②若A?芴B,则x∈A是x∈B的充分不必要条件,x∈B是x∈A的必要不充分条件;③若A=B,则x∈A和x∈B互为充要条件;④若A?芫B且A?芸B,则x∈A和x∈B互为既不充分也不必要条件。

例2设x,y∈R,则x2+y22是|x|+|y|≤的()条件,是|x|+|y|2的()条件。

A。充要条件B。既非充分也非必要条件

C。必要不充分条件?摇D。充分不必要条件

解如右图所示,平面区域P={(x,y)|x2+y22}表示圆内部分(不含边界);平面区域Q={(x,y)||x|+|y|≤}表示小正方形内部分(含边界);平面区域M={(x,y)||x|+|y|2}表示大正方形内部分(不含边界)。

由于(,0)?埸P,但(,0)∈Q,则P?芸Q。又P?芫Q,于是x2+y22是|x|+|y|≤的既非充分也非必要条件,故选B。

同理P?芴M,于是x2+y22是|x|+|y|2的充分不必要条件,故选D。

点评由数想形,以形辅数,这种解法正是数形结合思想在解题中的有力体现。数形结合不仅能够拓宽我们的解题思路,而且也能够提高我们的解题能力

三、逆否法

利用互为逆否命题的等价关系,应用“正难则反”的数学思想,将判断“p?圯q”转化为判断“非q?圯非p”的真假。

例3(1)判断p:x≠3且y≠2是q:x+y≠5的什么条件;

(2)判断p:x≠3或y≠2是q:x+y≠5的什么条件。

解(1)原命题等价于判断非q:x+y=5是非p:x=3或y=2的什么条件。