高中数学不等式的性质检测考试题(有答案)
3.1.2 不等式的性质第二课时 优化训练
1.若0a2,0b2,且a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中值最大的是()
A.a1b1+a2b2 B.a1a2+b1b2
C.a1b2+a2b1 D.12
解析:选A.利用特殊值法:a1=15,a2=45,b1=14,b2=34,可验证A最大.
2.如果loga3>logb3>0那么a,b间的关系是()
A.0<a<b<1 B.1<a<b
C.0<b<a<1 D.1<b<a
解析:选B.由loga3>logb3>0得lg3lga>lg3lgb>0,0<lga<lgb,1<a<b.
3.若直线xa+yb=1通过点M(cos,sin),则()
A.a2+b2 B.a2+b21
C.1a2+1b2 D.1a2+1b21
解析:选D.由题意知直线xa+yb=1与圆x2+y2=1有交点,则11a2+1b21,所以 1a2+1b21,即1a2+1b21,故选D.
4.若15,-12,则a-b的取值范围是________.
解析:∵-12,-21,1-2a-b1+5,即-1a-b6.
答案:[-1,6]
5.糖水是日常生活中常见的东西,下列关于糖水浓度的问题,请提炼出一个不等式来.
(1)如果向一杯糖水里添上点糖,糖水就更甜了;
(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的(浓)混合到一起,得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡.
解:(1)设糖水b克,含糖a克,浓度为ab,添入m克糖后的浓度为a+mb+m,则提炼出的不等式模型为:若b0,m0,则aba+mb+m.
(2)设淡糖水b1克,含糖a1克,浓度为a1b1;浓糖水b2克,含糖a2克,浓度为a2b2,则混合后的浓度为a1+a2b1+b2,所提炼出的不等式模型为:若b10,b20,且a1b1a2b2,则a1b1a1+a2b1+b2a2b2.
1.已知实数a、b、c、d满足ab,cd,(a-c)(a-d)=4,(b-c)(b-d)=4,则()
A.acd B.cab
C.cd D.adb
解析:选D.由(a-c)(a-d)=4及(b-c)(b-d)=4知a、b是方程(x-c)(x-d)=4的两个实根.
由根与系数的关系得a+b=c+d.
由不等式性质淘汰A、B、C,故选D.
2.(2011年松原高二检测)若x>1>y,下列不等式不成立的是()
A.x-1>1-y B.x-1>y-1
C.x-y>1-y D.1-x>y-x
解析:选A.若x=32,y=14,则x-1<1-y,故A错.
3.若6<a<10,a22a,c=a+b,则c的取值范围是()
A.918 B.15<c<30
C.930 D.9<c<30
解析:选D.∵3<b<20,9<a+b<30.
4.已知函数f(x)=x+x3,x1、x2、x3R,x1+x20,x2+x30,x3+x10,那么f(x1)+f(x2)+f(x3)的值()
A.一定大于0 B.一定小于0
C.等于0 D.正负都有可能
解析:选B.显然函数f(x)是奇函数,
且f(x)在R上是增函数.
∵x1+x30,x1-x3,
f(x1)f(-x3),
f(x1)-f(x3),
f(x1)+f(x3)0,
同理,f(x1)+f(x2)0,f(x2)+f(x3)0,
f(x1)+f(x2)+f(x3)0.
5.已知01b,且M=11+a+11+b,N=a1+a+b1+b,则M、N的大小关系是()
A.M B.MN
C.M=N D.不确定
解析:选A.由已知得a0,bab1,于是
M=11+a+11+b=bb+ab+aa+abbb+1+aa+1=N,
故选A.
6.如图,体积为V的大球内有4个小球,每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点,4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点,设V1为小球相交部分(图中阴影部分)的体积,V2为大球内、小球外的部分(图中黑色部分)的体积,则下列关系式中正确的是()
A.V1 B.V2V2
C.V1 D.V1V2
解析:选D.由题意知,大球半径与小球半径之比为2∶1,设大球半径为R,则小球半径为R2,V2=43R3-443(R2)3+V1=23R3+V1,所以V2-V1=230,所以V2V1,故选D.
7.(2010年高考辽宁卷)已知-1<x+y<4且2<x-y<3,则z=2x-3y的取值范围是________.
解析:设z=2x-3y=m(x+y)+n(x-y),
则m+n=2m-n=-3,解得m=-12n=52.
又∵-2<-12(x+y)<12,
5<52(x-y)<152,
3<2x-3y<8.
答案:(3,8)
8.已知ac,且a+b+c=0,则b2-4ac的值的符号为______.
解析:a+b+c=0,b=-(a+c),
b2=a2+c2+2ac4ac.∵ac,b2-4ac0.
答案:正
9.若mn,pq且(p-m)(p-n)0,(q-m)(q-n)0.则m,n,p,q的大小顺序为______.
解析:视(p-m)(p-n)0为关于p的二次不等式.
∵mn,mn,同理mn.
故mqn.
答案:mqn
10.已知a+b>0,比较ab2+ba2与1a+1b的大小.
解:ab2+ba2-(1a+1b)=a-bb2+b-aa2
=(a-b)(1b2-1a2)=a+ba-b2a2b2,
∵a+b>0,(a-b)20,a+ba-b2a2b20,
ab2+ba21a+1b.
11.已知0<+<2,-2<-<3,求2,2,3-3的取值范围.
解:∵0<+<2,①-2<-<3,②
①与②相加得-2<2<56.
又∵-2<-<3,-3<-<2.③
①与③相加得-3<2<.
又设3-3=m(+)+n(-)=(m+n)+(m-n),
m+n=3,m-n=-13,m=43,n=53.
3-3=43(+)+53(-),
而0<43(+)<23,-56<53(-)<59,
两式相加得-56<3-3<119.
12.甲、乙两人沿着同一条路同时从A地出发走向B地,甲用速度v1与v2(v1v2)各走路程的一半,乙用速度v1与v2各走全路程所需时间的一半,试判断甲、乙两人谁先到达B地,并证明你的结论.
解:乙先到达B地.证明如下:
设从A地到B地的总路程为1,
则甲走完全路程所用时间t1=12v1+12v2=12v1+12v2,
乙走完全路程所用时间t2=2v1+v2,
t2-t1=2v1+v2-(12v1+12v2)
=4v1v2-v2v1+v2-v1v1+v22v1v2v1+v2
=2v1v2-v21-v222v1v2v1+v2=-v1-v222v1v2v1+v2.
∵v1v2,v1>0,v2>0,
-v1-v222v1v2v1+v2<0,
即t1>t2.
甲走完全路程所用时间比乙多,故乙先到达B地.
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