高中数学等比数列的前n项和检测考试题(有答案)
2.3.2 等比数列的前n项和第二课时 优化训练
1.各项均为实数的等比数列{an}的前n项和记作Sn,若S10=10,S30=70,则S40等于()
A.150 B.-200
C.150或-200 D.400或-50
解析:选A.根据等比数列前n项和的性质可知,S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,且公比为q10,利用等比数列的性质可得(S20-S10)2=S10(S30-S20),所以S220-10S20-600=0,解得S20=-20或S20=30.因为S20=S10(1+q10)>0,所以S20=30.再次利用等比数列的性质可得(S30-S20)2=(S20-S10)(S40-S30),求得S40=150.
2.已知等比数列{an}的前n项和Sn=t5n-2-15,则实数t的值为()
A.4 B.5
C.45 D.15
解析:选B.由Sn=t255n-15得t25=15,
t=5.
3.设f(n)=2+24+27+210+…+23n+1(nN),则f(n)等于()
A.27(8n-1) B.27(8n+1-1)
C.27(8n+3-1) D.27(8n+4-1)
解析:选B.依题意,f(n)是首项为2,公比为8的前n+1项求和,根据等比数列的求和公式可得.
4.(2009年高考全国卷Ⅱ)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,S6=4S3,则a4=________.
解析:由题意知{an}的公比q不为1,
又由S6=4S3得a11-q61-q=4a11-q31-q,解得q3=3,
a4=a1q3=13=3.
答案:3
5.设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.
(1)求{an},{bn}的通项公式;
(2)求数列{anbn}的前n项和Sn.
解:(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,
则依题意有q>0且1+2d+q4=21,1+4d+q2=13.
解得d=2,q=2,
所以an=1+(n-1)d=2n-1,bn=qn-1=2n-1.
(2)anbn=2n-12n-1.
Sn=1+32+522+…+2n-32n-2+2n-12n-1,①
2Sn=2+3+52+…+2n-32n-3+2n-12n-2.②
②-①,得Sn=2+2+22+222+…+22n-2-2n-12n-1
=2+2(1+12+122+…+12n-2)-2n-12n-1
=2+21-12n-11-12-2n-12n-1=6-2n+32n-1.
1.(2011年永安高二检测)已知等比数列{an}中,a1+a2+a3=40,a4+a5+a6=20,则前9项之和等于()
A.50 B.70
C.80 D.90
解析:选B.由a4+a5+a6=q3(a1+a2+a3)得q3=12,
a7+a8+a9=q3(a4+a5+a6)=10,
前9项之和等于40+20+10=70.
2.已知数列{an}为等比数列,若a8a4=2,S4=4,则S8等于()
A.12 B.24
C.16 D.32
解析:选A.由题意知q4=2,
S8=S4+q4S4=S4+2S4=3S4=12.
3.某人为了观看2012年奥运会,从2005年起,每年5月10日到银行存入a元定期储蓄,若年利率为p且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期,到2012年将所有的存款及利息全部取回,则可取回的钱的总数(元)为()
A.a(1+p)7
B.a(1+p)8
C.ap[(1+p)7-(1+p)]
D.ap[(1+p)8-(1+p)]
解析:选D.2005年存入的a元到2012年所得的本息和为a(1+p)7,2006年存入的a元到2012年所得的本息和为a(1+p)6,依此类推,则2011年存入的a元到2012年的本息和为a(1+p),每年所得的本息和构成一个以a(1+p)为首项,1+p为公比的等比数列,则到2012年取回的总额为a(1+p)+a(1+p)2+…+a(1+p)7=a1+p[1-1+p7]1-1+p=ap[(1+p)8-(1+p)].
4.设数列{an}是公比为a(a1),首项为b的等比数列,Sn是前n项和,则点(Sn,Sn+1)()
A.在直线y=ax-b上 B.在直线y=bx+a上
C.在直线y=bx-a上 D.在直线y=ax+b上
解析:选D.由题意可得,Sn=b1-an1-a,Sn+1=b1-an+11-a=ab1-an1-a+b=aSn+b,点(Sn,Sn+1)在直线y=ax+b上.
5.等比数列{an}是递减数列,其前n项的积为Tn,若T13=4T9,则a8a15等于()
A.2 B.4
C.2 D.4
解析:选C.a8a15=a10a13=a11a12=2,由{an}为递减数列,舍去-2.
6.西部某厂在国家积极财政政策的推动下,从2008年1月起,到2010年12月止的36个月中,月产值不断递增且构成等比数列{an},若逐月累计的产值Sn=a1+a2+…+an满足Sn=101an-36,则该厂的年产值的递增率为(精确到万分位)()
A.12.66% B.12.68%
C.12.69% D.12.70%
答案:B
7.已知等比数列前n项和为Sn,S10S5=3132,则数列的公比为________.
解析:设该数列的公比为q,显然q1.
由S10S5=3132=a11-q101-qa11-q51-q=1+q5.
解得q=-12.
答案:-12
8.等比数列{an}共2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=________.
解析:由题意S2n=-240,S奇-S偶=80,
得S奇=-80,S偶=-160,所以q=S偶S奇=2.
答案:2
9.数列{an}中,an=2n-1n为正奇数,2n-1n为正偶数.设数列{an}的前n项和为Sn,则S9=________.
解析:S9=(a1+a3+a5+a7+a9)+(a2+a4+a6+a8)
=(1+22+24+26+28)+(3+7+11+15)
=377.
答案:377
10.数列{an}的前n项和记为Sn,已知an=5Sn-3(nN+),求数列{an}的通项公式.
解:an=5Sn-3, ①
a1=5S1-3=5a1-3,
a1=34.
n2时,an-1=5Sn-1-3 ②
①②两式相减an-an-1=5an,
an=-14an-1故{an}为首项为34,公比为-14的等比数列,
an=34-14n-1.
11.(2009年高考浙江卷)设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=kn2+n,nN+,其中k是常数.
(1)求a1及an;
(2)若对于任意的mN+,am,a2m,a4m成等比数列,求k的值.
解:(1)当n=1,a1=S1=k+1,
n2,an=Sn-Sn-1=kn2+n-[k(n-1)2+(n-1)]=2kn-k+1,(*)
经验证,n=1时(*)式成立,
an=2kn-k+1.
(2)∵am,a2m,a4m成等比数列,
a22m=ama4m,
即(4km-k+1)2=(2km-k+1)(8km-k+1),
整理得,mk(k-1)=0,
对任意的mN+成立,k=0或k=1.
12.某家用电器一件现价2000元,实行分期付款,每期付款数相同,每期为一月,购买后一个月开始付款,每月付款一次,共付12次,购买后一年还清,月利率为0.8%,按复利计算,那么每期应付款多少?(1.008121.1)
解:设每期应付款x元,则第1期付款到最后一次付款时的本息和为x(1+0.008)11,第2期付款到最后一次付款时的本息和为x(1+0.008)10,…,第12期付款没有利息,所以各期付款连同利息之和为x(1+0.008)11+x(1+0.008)10+…+x=1.00812-11.008-1x.
又所购电器的现价及其利息之和为20001.00812,
于是有1.00812-11.008-1x=20001.00812.
解得x=161.008121.00812-1176(元).
所以每期应付款176元.
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