教    材

义务教育教科书（人教版）《数学》八年级上册第十三章《轴对称》第三小节

设计理念

从学生已有的生活经验和认知基础出发，让学生主动地进行学习。通过动手操作、实践探究、猜想论证、合作交流等方式使学生理解概念。从而感受感受数学源于生活，更好地理解数学知识的意义，体现“人人学有价值数学”的新课程理念。整个教学设计流程突出以学定教，体现“设计问题化，过程活动化，活动练习化，练习要点化，要点目标化，目标课标化”的要求，将教学过程设计为有一定梯次的递进式活动序列。用powerpoint、flash设计课件，进行探究学习，获得感受心得，经验技巧。

学情分析

教学对象是八年级学生，在学习本节前，学生已学习过研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”以及“三角形的第三边大于另两边之差，小于另两边之和”等的问题和轴对称知识。八年级学生观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、结密性、灵活性比较欠缺，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步加强和引导，思维水平仍以经验型为主，理论型思维尚处于萌芽阶段，动手探究、实践认知的能力还未完善培养形成，因此，在推理论证方面须坚持遵循“特殊——一般——特殊”规律，注重对学生动手实践的指导及创新创造激发培养。

知识分析

教科书在这一节中安排了两个问题，分别是“牧马人饮马问题”和“造桥选址问题”，解决这两个问题的关键是通过轴对称和平移等变化把问题转化为关于“两点之间，线段最短”的问题（或“三角形两边之和大 于第三边”）问题，在解决这两个问题的过程中渗透了化归的思想．

学

习

目

标

知识与技能

1、结合具体实例，能灵活的运用轴对称、线段公理解决实际问题

2、初步学会思考，逐步提高思维技能和思维的有效性，初步学会探究问题

过程与方法

1、经历问题的探究，学会从中提取有用信息，善于思考，善于提问，善于归纳总结，培养良好思维习惯．

2、经历运用已有的生活经验，已有的数学知识，培养思维能力、推理能力和有条理的表达能力

情感态度与价值观

1、鼓励学生大胆思考，善于思考，初步养成自觉思考的好习惯

2、鼓励学生大胆尝试，勇于探索，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情．

3、通过提供丰富的，有吸引力的探索活动和现实生活中的问题，使学生初步体会学习思考的积极作用，感受思考带给我们的好处，引导学生要积极思考，善于思考，渗透德育教育 

教学重点

1、运用轴对称、线段公理解决实际问题．

2、学会从知识内容中提炼出数学思想或方法，学会归纳总结，初步学会思考．

教学难点

1、轴对称、线段公理的灵活运用和提升，

2、提高思维的有效性．

教学方法

采用“引导—探究—发现”的教学模式，突出学习方法的引导，注重思维习惯的培养，为学生搭建参与和交流的平台；

学法指导

实践操作、发现法、练习法、合作学习。突出探究与发现，思考与归纳提升，在动手探究、自主思考、互动交流中，获取本节课的知识与方法．

教学资源

借助PPT课件展示引例及变式训练题组，增大课堂容量，吸引学生眼球，最大限度地激发学生的学习兴趣，优化课堂结构，提高课堂教学效率。

教学评价

评价量规：随堂提问、动手实践、操作演练、练习反馈；

评价策略：坚持“及时评价与激励评价相结合，定量化评价与定性化评价相统一”的原则，最大限度地做到面向全体学生，充分关注学生的个性差异，将学生自评、生生互评和教师概括引领、激励测进式点评有机结合，既有即兴评价，又有概要性评价；既有学生的自评，又有师生、生生之间的互评，力求在评价中帮助学生认识自我、建立自信，使其逐步养成独立思考、自主探索、合作交流的学习习惯。

教

学

流

程

活动流程

活动内容及目的

活动一 创设情境，导入新课

通过实际问题回顾相关知识及其运用，为探究新问题打下基础。

活动二 尝试探究，解决问题

逐层深入探究在不同背景下的三个路径最短问题。

活动三 变式开放，灵活运用

学以致用，通过习题训练，使学生运用本节课知识解决实际问题，培养学生学数学，用数学的好习惯。

活动四 课堂小结，总结提炼

总结自己的收获和存在的问题。培养学生归纳总结能力，养成勤于思考的好习惯。

活动五 推荐作业，深化发展

必做题旨在巩固学生对基础知识的掌握，选做题的设计拓展了学生的思维，培养学生学数学，用数学的观念。

教        学       程       序

问题与情境

师生活动

媒体使用与教学评价

【活动1】创设情境，导入新课

1.回忆：如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？

2.导入：像这样我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”

教师出示问题1，学生观察回答，并说理：两点之间，线段最短。

教师导入。

通过实际问题回顾相关知识及其运用，为探究新问题打下基础。

教师通过导语使明确课题的任务，激发学生探究的欲望。

【活动2】尝试探究，解决问题

问题1  如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

   为什么这样做就能得到最短距离呢？

问题2 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：

看图：从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全最短？

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 

做法： 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 

作法：

（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；

（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求．

证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，

 BC =B′C，BC′=B′C′．

 ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′，

 AC′+BC′ = AC′+B′C′．

思考：证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？ 

答：若直线l 上任意一点（与点C 不重合）与A，B 两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小． 

问题 3（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）

作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，

2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。

证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,

所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,

若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE,

则AB两地的距离为：

AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,

在△ACE中，∵AC+CE＞AE, 

∴AC+CE+MN＞AE+MN,

即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN

所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。

教师出示问题1，学生先阅读明确题意。

思考：怎样把这个实际问题抽象为数学问题？

已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

（连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。）

道理：两点之间，线段最短。

总结：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．

教师出示问题2，学生先阅读明确题意。

追问1，这是一个实际问题，你打算首先做什么？

追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？

（将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线． ）

（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； 

（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和； 

（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小（如图）． 

追问3  如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？

（1）对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？ 

（2）你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？ 

分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．

点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.（师讲解做法见左栏）

追问4 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？（学生先思考，教师视情况点拨提示，讲解证法）

总结：求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．

运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．

警误区  利用轴对称解决最值问题应注意题目要求 根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．

教师出示问题3，学生先阅读明确题意。

同上引导学生将实际问题抽象为数学问题，然后引导分析思路，找出方法。

思路导引：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥．

总结：选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．

解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．

在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．

了解在生活中的应用，让学生感受到数学与生活实际的联系，了解数学的价值。

让学生体会在数学活动中探究问题的层次性，感受从简单到复杂、特殊到一般、实物到几何图形探究的转化思想。

引导学生培养学生探究得意识。

在探究过程中形成解决问题的一些基本策略。

【活动3】变式开放，灵活运用

1.如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．

2.如图，台球桌上有一个黑球，一个白球，如何用球杆去击白球使其撞到AB边反弹后再撞到黑球?

3.如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°,在BC，CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为多少？

   学生自主探究，教师指导。

学生回答探究结果

基本思路：

由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小”． 

让学生积极参与数学学习活动，满足学生对数学好奇心和求知欲。

培养学生的自主探究、动手实践是学生学习数学的重要方式。

【活动4】课堂小结，总结提炼

（1）本节课研究问题的基本过程是什么？ 

（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？

教师组织学生回顾本节课学习的内容。谈谈自己的收获，鼓励学生大胆质疑.教师归纳.

学生畅谈所探究发现的感受心得，体会经验技巧。

【活动5】推荐作业，深化发展

必做题：教科书复习题13第15题． 

选做题：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.

［师生互动］

教师布置作业。

学生按要求自主完成作业

【设计意图】

分层作业，体现不同的人在数学中得到不同的发展。

板板书设计

多媒体

活动1

活动2

活动3