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教学过程

Ⅰ.提出问题,创设情境

问题:木星的质量约是1.90×1024吨.地球的质量约是5.08×1021吨.你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?

[生]这是除法运算,木星的质量约为地球质量的(1.90×1024)÷(5.98×1021)倍.

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讨论:(1)计算(1.90×1024÷(5.98×1021).说说你计算的根据是什么?

(2)你能利用(1)中的方法计算下列各式吗?

8a3÷2a;5x3y÷3xy;12a3b2x3÷3ab2.(3)你能根据(2)说说单项式除以单项式的运算法则吗?

Ⅱ.导入新课

[师]观察讨论(2)中的三个式子是什么样的运算.

[生]这三个式子都是单项式除以单项式的运算.

[师]前一节我们学过同底数幂的除法运算,同学们思考一下可不可以用自己现有的知识和数学方法解决"讨论"中的问题呢?

(学生以小组为单位进行探索交流,教师可参与到学生的讨论中,对遇到困难的同学及时予以启发和帮助)

讨论结果展示:

可以从两方面考虑:

1.从乘法与除法互为逆运算的角度.

(1)我们可以想象5.98×1021·( )=1.90×1024.根据单项式与单项式相乘的运算法则:单项式与单项式相乘,是把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变作为积的因式,可以继续联想:所求单项式的系数乘以5.98等于1.90,所以所求单项式系数为1.90÷5.98≈0.318,所求单项式的幂值部分应包含1024÷1021即103,由此可知5.98×1021·(0.318×103)=1.90×1024.所以(1.90×1024)÷(5.98×1021)=0.38×103.

(2)可以想象2a·( )=8a3,根据单项式与单项式相乘的运算法则,可以考虑:8÷2=4,a3÷a=a2 即2a·(4a2)=8a3.所以8a3÷2a=4a2.

同样的道理可以想象3xy·( )=6x3y;

3ab2·( )=12a3b2x3,考虑到6÷3=2,x3÷x=x2,y÷y=1;12÷3=4,a3÷a=a2,b2÷b2=1.所以得3xy·(2x2)=6x3y;3ab2·(4a2x3)=12a3b2x3.所以6x3y÷3xy=2x2;12a3b2x3÷3ab2=4a2x3.

2.还可以从除法的意义去考虑.

(1)(1.90×1024)÷(5.98×1021)= =0.318×103.

(2)8a3÷2a= =4a.

6x3y÷3xy= =2x2.

12a3b2x3÷3ab2= ·x3=4a2x3.

上述两种算法有理有据,所以结果正确.

[师]请大家考虑运算结果与原式的联系.

[生甲]观察上述几个式子的运算,它们有下列共同特征:

(1)都是单项式除以单项式.

(2)运算结果都是把系数、同底数幂分别相除后作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式.

(3)单项式相除是在同底数幂的除法基础上进行的.

[生乙]其实单项式除以单项式可以分为系数相除;同底数幂相除,只在被除式里含有的字母三部分运算.

[师]同学们总结得很好.能用很条理的语言描述单项式与单项式相除的运算法则,而且能抓住法则的实质所在,这是数学能力的提高与体现,老师为你们骄傲.下面我们应用单项式与单项式相除的运算法则解决一些计算问题,进一步体会运算法则的实质所在.

1.例:计算

(1)28x4y2÷7x3y

(2)-5a5b3c÷15a4b

(3)(2x2y)3·(-7xy2)÷14x4y3

(4)5(2a+b)4÷(2a+b)2

分析:(1)、(2)直接运用单项式除法的运算法则;(3)要注意运算顺序:先乘方,再乘除,再加减;(4)鼓励学生悟出:将(2a+b)视为一个整体来进行单项式除以单项式的运算.

解:(1)28x4y2÷7x3y

=(28÷7)·x4-3·y2-1

=4xy.

(2)-5a5b3c÷15a4b

=(-5÷15)a5-4b3-1c

=- ab2c.

(3)(2x2y)3·(-7xy2)÷14x4y3

=8x6y3·(-7xy2)÷14x4y3

=[8×(-7)]·x6+1y3+2÷14x4y3

=(-56÷14)·x7-4·y5-3

=-4x3y2.

(4)5(2a+b)4÷(2a+b)2

=(5÷1)(2a+b)4-2

=5(2a+b)2

=5(4a2+4ab+b2)

=20a2+20ab+5b2

再探新知计算下列各式:(1)(am+bm)÷m;(2)(a2+ab)÷a;(3)(4x2y+2xy2)÷2xy.①说说你是怎样计算的②还有什么发现吗?

在学生独立解决问题之后,及时引导学生反思自己的思维过程,并对自己计算所得的结果进行观察,总结出计算的一般方法和结果的项数特征:商式与被除式的项数相同.

注:教科书提供了一些多项式除以单项式的题目,鼓励学生利用已经学习过的内容独立解决这些问题.教学中仍应提倡算法多样化,让学生说明每一步的理由,并鼓励学生间的交流.学生可以类比数的除法把除以单项式看成是乘以这个单项式的倒数,也可以利用逆运算进行考虑.

归纳法则

多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.

你能把这句话写成公式的形式吗?

注:这里重要的是学生能理解运算法则及其探索过程,能够运用自己的语言叙述如何进行运算,不必要求学生背诵法则.用字母概括法则是使算法一般化,可深化和发展对数的认识.

解决问题

教科书第192页例3 计算

(1)(12a3-6a2+3a)÷3a;

(2)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y);

(3)[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x

幂的运算性质是整式除法的关键,符号仍是运算中的重要问题.在此可由学生口答,要求学生说出式子每步变形的依据,并要求学生养成检验的习惯,利用乘除互为逆运算,检验商式的正确性.

注:通过例题的剖析和解决,培养学生耐心细致、严谨的数学思维品质,训练学生形成一定的计算能力.

Ⅲ.随堂练习

a.课本P189练习1、2.3

Ⅳ.课时小结

1.单项式的除法法则是_________________.

2.应用单项式除法法则应注意:

①系数先相除,把所得的结果作为商的系数,运算过程中注意单项式的系数饱含它前面的符号;

②把同底数幂相除,所得结果作为商的因式,由于目前只研究整除的情况,所以被除式中某一字母的指数不小于除式中同一字母的指数;

③被除式单独有的字母及其指数,作为商的一个因式,不要遗漏;

④要注意运算顺序,有乘方要先做乘方,有括号先算括号里的,同级运算从左到右的顺序进行.

⑤多项式除以单项式法则

Ⅴ.课后作业

1.课本P193习题15.4─2、4、5题

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