高一数学教案:利用函数性质判定方程解的存在
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本文题目:高一数学教案:利用函数性质判定方程解的存在
目标:
1.让学生熟练掌握二次函数的图象,并会判断一元二次方程根的存在性及根的个数 ;
2.让学生了解函数的零点与方程根的联系 ;
3.让学生认识到函数的图象及基本性质(特别是单调性)在确定函数零点中的作用 ;
4。培养学生动手操作的能力 。
二、教学重点、难点
重点:零点的概念及存在性的判定;
难点:零点的确定。
三、复习引入
例1:判断方程 x2-x-6=0 解的存在。
分析:考察函数f(x)= x2-x-6, 其
图像为抛物线容易看出,f(0)=-60,
f(4)0,f(-4)0
由于函数f(x)的图像是连续曲线,因此,
点B (0,-6)与点C(4,6)之间的那部分曲线
必然穿过x轴,即在区间(0,4)内至少有点
X1 使f(X1)=0;同样,在区间(-4,0) 内也至
少有点X2,使得f( X2)=0,而方程至多有两
个解,所以在(-4,0),(0,4)内各有一解
定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数 x叫函数y=f(x)的零点
抽象概括
y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标叫做该函数的零点,即f(x)=0的解。
若y=f(x)的图像在[a,b]上是连续曲线,且f(a)f(b)0,则在(a,b)内至少有一个零点,即f(x)=0在 (a,b)内至少有一个实数解。
f(x)=0有实根(等价与y=f(x))与x轴有交点(等价与)y=f(x)有零点
所以求方程f(x)=0的根实际上也是求函数y=f(x)的零点
注意:1、这里所说若f(a)f(b)0,则在区间(a,b)内方程f(x)=0至少有一个实数解指出了方程f(x)=0的实数解的存在性,并不能判断具体有多少个解;
2、若f(a)f(b)0,且y=f(x)在(a,b)内是单调的,那么,方程f(x)=0在(a,b)内有唯一实数解;
3、我们所研究的大部分函数,其图像都是连续的曲线;
4、但此结论反过来不成立,如:在[-2,4]中有根,但f(-2)0, f(4) 0,f(-2) f(4)
5、缺少条件在[a,b]上是连续曲线则不成立,如:f(x)=1/ x,有f(-1)xf(1)0但没有零点。
四、知识应用
例2:已知f(x)=3x-x2 ,问方程f(x)=0在区间[-1,0]内没有实数解?为什么?
解:f(x)=3x-x2的图像是连续曲线, 因为
f(-1)=3-1-(-1)2 =-2/30, f(0)=30-(0)2 =-10,
所以f(-1) f(0) 0,在区间[-1,0]内有零点,即f(x)=0在区间[-1,0]内有实数解
练习:求函数f(x)=lnx+2x-6 有没有零点?
例3 判定(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且有一个大于5,一个小于2。
解:考虑函数f(x)=(x-2)(x-5)-1,有
f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1
f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1
又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线,所以抛物线与横轴在(5,+)内有一个交点,在( -,2)内也有一个交点,所以方程式(x-2)(x-5)=1有两个相异数解,且一个大于5,一个小于2。
练习:关于x的方程2x2-3x+2m=0有两个实根均在[-1,1]内,求m的取值范围。
五、课后作业
p133第2,3题
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