小学数学教育改革趋势——第五届国际数学教育会议讨论简介 第五届国际数学教育会议于1984年8月在澳大利亚的阿得雷德市举行。会上小学组就小学数学教育方面的问题，分成7个小组进行讨论，每个小组讨论一个专题。下面对讨论的情况做一简单介绍。

一 整数计算和估算

有几个国家的代表反映，课堂教学往往集中注意基本的计算技能，忽视较高水平的计算方法，其中包括口算和估算。而且教学往往太形式化，死板，很少注意与旧知识的联系和应用。由于有了计算器，有一些数学教育家和教育行政人员，很少提计算的目标，而提出更多发展性的教学项目。

小组的参加者集中讨论了与基本式（指20以内加减法和表内乘除法）有关的教材和学习问题。一致同意掌握基本式是非常重要的。还认为教师应当设法培养学生的概括能力、掌握数量关系和思考方法，以帮助儿童学会基本式。而关键之一是要注意基本概念、思考方法和计算的扩展之间的联系。而这些思考方法对于计算方法、口算和估算都应当是有用的。

关于整数计算，一种主张是笔算、电子计算（计算器）和口算三者的教学应当保持平衡。但是大多数认为，要对估算给予更大的注意。有些人主张取消数目较大的除法；另外一些代表认为，教各种笔算方法有可能导致较为自然地应用于口算和估算。

关于估算，都认为儿童应当有效地掌握它并能应用，应当强调计算速度，提出合理的答案，心里算出来。需要使儿童掌握广泛多样的方法，能根据具体情况来使用估算。认为估算和心算的教学宜于早一点开始，与各种计算教学密切结合起来。估算的教学内容包括以下几方面：高位计算（如465＋275，算400＋200=600，其余的大约是100，所以得700），凑整（四舍五入），把几个数分组使计算简便，把一些数群集起来采用平均数等。

二 比、小数和分数

关于比的知识，有的国家孩子七八岁时就开始介绍初步的观念，到十一岁左右进一步介绍线性概念。他们认为使儿童获得不同数量间的比的概念需要较长的时间。有的代表说明在教科书中怎样用游戏来介绍比；有的代表则用建筑物的图画和让学生画比例尺来介绍比；还有的举密度、竿影等说明各种各样的比。大家认为，比应当是小学数学中的一个基本概念，因为它在物理、化学、生物以及数学的某些领域，如概率、相似及三角等方面的应用是非常重要的。大家有一个总的批评意见，就是现行大纲太重视数学本身，而忽视它同儿童现实的联系。

改写成小数，四分之一的学生写成3.10。当要求把0.9写成分数时，错写成

认为0.5大于0.42。调查材料说明，很多学生不会把小数跟位置值或分数的部分——整体概念联系起来。因此教学中最紧迫的问题是帮助学生理解小数的意义。

关于分数，有人对先教分数乘法还是先教分数加法进行了实验研究。结果表明，先教分数加法学生错误少，因为分数乘法要由分数连加导出。有人主张应把分数既看作算子（分的动作），又看作数量（分的结果）。有人认为教有理数用集合和数轴来说明比用实物和平面区域来说明要困难些，因此建议把用集合和数轴说明放到后面。等价分数和等价小数也是较难的课题，需要在理解分数、小数的意义上增加教学时间。会上还有人提出，分数的计算应当简单一些（数目要小，分母要容易算）。有人提出带分数的重要性问题，结论是带分数的运算的重要性已经下降了。

总起来说，纯数字的处理和法则的形式化过早进入数学教育，破坏了儿童从现实生活经验中获得的初步观念。因此，不应过早地教儿童法则，让他们用一些无意义的符号进行无意义的运算。

三 解应用题问题

这个组谈到的主要问题有：儿童是怎样解应用题的？是什么原因使解应用题发生困难？关于解应用题的教学，我们知道了什么，还需要知道什么？在解应用题的教学中存在什么问题？

有人研究，许多儿童能在校外（如市场上）解实际问题，而且能用不同的方法去解，却不能在学校里解相似的应用题。因为在市场上他们所对付的是各种量，而在学校里他们所对付的较多的是符号。还有人研究，儿童在学校里解应用题时不是彻底思考问题，而是希望“抓”到答案。学校里的教学方法似乎压抑了儿童解应用题的能力。因此在讨论中大家一致同意：1.教师必须帮助儿童弄清应用题中的语言与数量之间的联系；2.应当减少对算法的重视，而更多地重视运算的意义；3.在教学生解应用题时不应当用关键词如“还剩”、“一共”等。但是也指出，解应用题时有一部分是语言活动，也需要帮助学生解释应用题的语言，使他们了解数量关系，而不是找运算和关键词之间的联系。

还有人研究解应用题的重要组成部分。认为在解应用题时必须分析数量关系并弄清它们的模式，以便找出解法。研究表明，改变一个简单应用题的结构，既能影响题目的难度，又能影响解题的方法。他建议要讨论数量间的关系，重视运算的意义，并提供大量的各种不同的应用题。

有人提出下面的一些做法，对儿童解应用题是有益的：1.注意动作（如放在一起，比较）；2.注意部分——部分——整体间的关系；3.用较小的数目来叙述原题；4.画图和操作；5.根据应用题中的数目来考虑答案的范围。

而下面的做法对儿童是无益的：1.指导儿童识别所给的数据；2.指导儿童识别所问的问题；3.用很少的字重述这道题。

认为应当鼓励儿童用计算器计算，以便能把注意力集中在解答方法上而不是在计算上。

最后，讨论者都同意，需要给儿童丰富多样的题型。如果教师要顺利地帮助儿童成为较好的解题者，就必须把注意力不放在教儿童“诀窍”上，而放在发展数学思维上。

四 小学几何

有代表反映，小学里分配给几何教学的时间太少，几何好象引起很多问题，远不如数的方面那样明确。还指出，传统的几何概念极大地影响着教学内容。例如，在法国几何教学的目的不是发展空间观念，而是介绍演绎推理。

在几个国家做了一些实验，研究几何体的性质，在平面上呈现三维物体的方法，几何图形的理解和处理，以及文化对形的概念的影响。表明简单的感知活动并不是对现象复制，而是儿童创造的结果。几何教学必须由儿童自己去揭示各种空间现象的概念，并去发现如何做才容易展示这些概念，以增进对空间的理解。

有的代表强调，要使用各种教学材料来发展儿童的空间能力。例如，用镜子来学习图形的反射；用折纸学习图形的旋转、对称等概念，面积的守恒以及周长的变化；用各种形状的盒子来认识三维图形同它们的二维表示之间的关系。

有的代表提出要帮助教师改进几何教学，为他们编专门的书籍，使他们了解几何基础知识，并提出组织几何课堂教学的建议。

最后强调以下几点：

1.要提供能够吸引学生的教学材料，应把三维的教学材料放在二维的教学材料之前。

2.所设计的教学材料要使儿童花些时间去探索和创建模型，并自己纠正错误。

3.在探索阶段之后，所有的活动都应仔细地组织。

4.教师要做好教学活动的计划，要观察儿童的操作，听他们在说什么，并向他们提问，以便帮助他们学习。

5.所有这些都牵涉到教师的培训。教师必须具有使用这些教学材料的体验，以便他们自己弄清楚概念。教师在计划和制备教学材料时，需要得到校长和其他教师的帮助。

五 代 数

与会者着重研究的问题有：小学教学代数的意义是什么？代数教学的目的怎样提比较适当？代数教学研究的关键问题是什么？

大家认为代数至少有三个部分：1.从现实到代数概念；2.开始认识代数式并明了其可能的“现实”意义；3.从一个代数式到另一个代数式。并一致认为第三部分在小学阶段是不重要的，或是不适当的。认为在小学进行代数思维比较好，因为它很少是正式讲的，也很少是符号的。但是在小学应当教给儿童符号，还是应当鼓励儿童自己解题，有不同看法。研究报告说明，对儿童进行教学是成功的，但不能用传统的中学代数的教学方法。

对儿童进行代数教学最适宜的活动是寻找，表述，概括范型，用图画、图表和符号形式来表示概括。所有这些都有助于逐渐增加对函数和变量的认识。认为给学生说几个数（如0，1，5，4），然后告诉他们计算的结果（如3，5，13，11），再让他们猜出计算的规律（如把一个数乘以2再加3），很有好处。

与会者一致认为，代数教学与小学数学其他内容的教学方法相同，即给学生任务后，让学生通过讨论建立起这方面的经验。代数教学应当有计划、有目的地进行。同时也有一些任务需要进一步研究，如：在小学阶段怎样呈现概念和使概念符号化才便于理解，小学代数除了为中学代数做准备外，是否还有更多的目的等。

六 微型计算机和计算器的使用

与会者主要研究以下几个问题：

1.如何能用微型计算机诊断学生的错误？2.如何研制软件以引起数学学习和发展概念？3.计算机教育的现状是什么？4.怎么使用计算器？

有人认为，把诊断编入计算机辅助教学材料中在目前还处在原始阶段。他举出编造诊断程序的步骤如下：1.明确定出诊断的内容；2.确定为这项内容进行的课程练习；3.列举出可能出现的错误；4.在学生答案的基础上研究如何说明错误；5.记录一些学生的演算情况；6.提出补救可能成功的办法；7.对程序做必要的修改。

有人具体介绍了使用计算机辅助教学的内容和方法。如用于教学几何知识，估计长度，理解和使用变量，学习和使用坐标系，解应用题等。有人认为除了少数高年级的天才生外，一般不宜教编程序。但是许多参加者认为，应该教编程序以加强数学的学习。

关于计算器，一位代表介绍说已在很多国家中使用。1982年在美国，75％的五年级学生使用计算器；1984年在英国，87％的五年级学生使用计算器。英国的一份报告中建议，要在各阶段都利用计算器和计算机。但是要注意计算器对数学课程的效果，特别是掌握一位数计算和估算技能还是很重要的，因为用它们可以判断用计算器算出的答案是否合理。无论是计算器还是计算机，如何有效地使用还需要进一步研究。

七 教学的手段和方式

会上讨论了各种教学手段（一般环境，有结构的情境，教科书）的相互关系，以及教学方式（教师，语言，学生的相互作用）。

有些代表强调，数学的学习应当以儿童的自然环境作为出发点。传统的教学都是用木块来说明各种运算。而在生活情境中（如坐公共汽车）学习数学，可以说明计算的意义就是把事件的过程记录下来。但也有些代表主张用木块来教学，认为它是使学习加快的手段，而演剧式的活动相对来说比较慢。还有的代表强调采用游戏可以使学生之间相互影响。

有的代表强调数学的学习应以有结构的情境作为出发点。几何模型对于促进视觉范型的发展，以及对过渡到数的范型和数量关系的对应具有特殊的用途。例如，以建造模型为基础的活动往往要求记录、组织和解释数据。最后学生要学会如何制表画图。这样他们必须学习把各种结果联系起来加以比较，并做出预言。几何模型的活动可以培养解应用题的技能。讨论表明，有结构的情境的范围可以从日常生活到较为形式化的数学。

有的代表强调，在数学教学中要注意使用教科书，认为教科书有一个记录的系统，从而可以使数学变得容易理解。教科书既是给儿童参考资料的来源，又是儿童活动的来源。同时也强调教师是媒介体。他们有数学知识，而且如果教师不愿意或不能处理变化了的情境，即使有好的教科书也不会产生多大变化。有人提出，如果微型计算机接替了练习的功能，同时还使用具体的教学材料以形成初步的概念，那么教科书可能就变成多余的了。但大多数人相信，还必须有教科书作为鼓舞的源泉，作为一种安全网，并作为学校数学课题的体现者。

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