在人类历史发展和社会生活中，数学有着不可替代的作用，以下是湖南师大附中海口中学2016届高三数学一模试卷，请考生认真练习。

一、选择题

1.(2015全国Ⅱ卷)已知a=(1，-1)，b=(-1，2)，则(2a+b)a=()

A.-1 B.0 C.1 D.2

解析 因为a=(1，-1)，b=(-1，2)，所以2a+b=2(1，-1)+(-1，2)=(1，0)，得2a+b)a=(1，0)(1，-1)=1，选C.

答案 C

2.已知向量a=(k，3)，b=(1，4)，c=(2，1)，且(2a-3b)c，则实数k=()

A.- B.0 C.3 D.

解析 因为2a-3b=(2k-3，-6)，且(2a-3b)c，所以(2a-3b)c=2(2k-3)-6=0，解得k=3，选C.

答案 C

3.(2015四川卷)设向量a=(2，4)与向量b=(x，6)共线，则实数x=()

A.2 B.3 C.4 D.6

解析 a=(2，4)，b=(x，6)，∵a∥b，4x-26=0，x=3.

答案 B

4.(2015太原模拟)已知a，b均为单位向量，(2a+b)(a-2b)=-，则向量a，b的夹角为()

A. B. C. D.

解析 因为a，b均为单位向量，

所以(2a+b)(a-2b)=2-2-3ab=-，

解得ab=，

所以cos〈a，b〉==，又〈a，b〉[0，]，

所以〈a，b〉=.

答案 A

5.(2015福建卷)设a=(1，2)，b=(1，1)，c=a+kb.若bc，则实数k的值等于()

A.- B.- C. D.

解析 c=a+kb=(1，2)+k(1，1)=(1+k，2+k)，∵bc，bc=0，bc=(1，1)(1+k，2+k)=1+k+2+k=3+2k=0，k=-，故选A.

答案 A

二、填空

6.(2015江苏卷)已知向量a=(2，1)，b=(1，-2)，若ma+nb=(9，-8)(m，nR)，则m-n的值为________.

由向量a=(2，1)，b=(1，-2)，得ma+nb=(2m+n，m-2n)=(9，-8)，则，解得，

故m-n=-3.

答案 -3

7.(2015郑州模拟)如图，在△ABC中，C=90，且AC=BC=3，点M满足=2，则=________.

解析 法一 如图，建立平面直角坐标系.

由题意知：A(3，0)，B(0，3)，

设M(x，y)，由=2，

得解得即M点坐标为(2，1)，

所以=(2，1)(0，3)=3.

法二 =(+)=2+=2+(-)=2=3.

答案 3

8.(2015安徽卷)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足=2a，=2a+b，则下列结论中正确的是________(写出所有

①a为单位向量;②b为单位向量;③a④b∥;⑤(4a+b).

解析 ∵△ABC为边长是2的等边三角形，||=|2a|=2|a|=2，从而|a|=1，故①正确;又=-=2a+b-2a=b，b∥，故④正确;又(+)(-)=2-2=0，(+)，即(4a+b)，故⑤正确.

答案 ①④⑤

三、解答题

9.(2015陕西卷)△ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.向量m=(a，b)与n=(cos A，sin B)平行.

(1)求A;

(2)若a=，b=2，求△ABC的面积.

解 (1)因为m∥n，

所以asin B-bcos A=0，

由正弦定理，得sin Asin B-sin Bcos A=0，

又sin B0，从而tan A=，

由于0

(2)法一 由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos A，

而a=，b=2，A=，

得7=4+c2-2c，

即c2-2c-3=0，

因为c0，所以c=3，

故△ABC的面积为S=bcsin A=.

法二 由正弦定理，得=，

从而sin B=，

又由ab，知AB，

所以cos B=，

故sin C=sin(A+B)=sin

=sin Bcos +cos Bsin =.

所以△ABC的面积为S=absin C=.

10.已知向量a=，b=，且x.

(1)求ab及|a+b|;

(2)若f(x)=ab-2|a+b|的最小值是-，求的值.

解 (1)ab=cos cos -sin sin =cos 2x，

|a+b|===2，

因为x，

所以cos x0，

所以|a+b|=2cos x.

(2)由(1)，可得f(x)=ab-2|a+b|=cos 2x-4cos x，

即f(x)=2(cos x-)2-1-22.

因为x，

所以0cos x1.

①当0时，当且仅当cos x=0时，f(x)取得最小值-1，这与已知矛盾;

②当01时，当且仅当cos x=f(x)取得最小值-1-22，由已知得-1-22=-，解得

③当1时，当且仅当cos x=1时，f(x)取得最小值1-4，由已知得1-4=-，解得=，这与1相矛盾;

综上所述=.

11.(2015日照模拟)已知在锐角三角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p=(cos B+sin B，2sin B-2)，q=(sin B-cos B，1+sin B)，且pq.

(1)求B的大小;

(2)若b=2，△ABC的面积为，求a，c.

解 (1)pq，

所以pq=(cos B+sin B)(sin B-cos B)+(2sin B-2)(1+sin B)=0，

即sin2B-cos2B+2sin2B-2=0，

即sin2B=，

又角B是锐角三角形ABC的内角，

所以sin B=，

所以B=60.

(2)由(1)得B=60，又△ABC的面积为，

所以S△ABC=acsin B，即ac=4.①

由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B，又b=2，

所以a2+c2=8，②

联立①②，解得a=c=2.

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