数学与美
中国古代著名哲学家庄子说:“判天地之美,析万物之理。”日本物理学家,诺贝尔奖得主汤川秀树把这两句话印在他的书的扉页上,作为现代物理的指导思想及最高美学原则。这两句话也是我们学习与研究数学的指导思想和最高美学原则。通过本讲座,我们将展现数学精神的魅力,阐述数学推理之妙谛。但数学之美的面纱是慢慢揭开的,数学推理的妙谛是逐渐展现的。这涉及到科学与艺术的关系,而艺术与科学的联系是天然的。实际上,一切科学、哲学、数学和艺术的研究对象不外乎,天─——大宇宙;地,自然界及其中一切动植物─——中宇宙;人─——最精密、最完善的小宇宙。既然科学和艺术的研究对象是相同的,所以它们必然是相辅相成的两个领域。著名物理学家李政道说得好:“科学和艺术是不可分割的,正像一枚硬币的两面。它们共同的基础是人类的创造力,它们追求的目标都是真理的普遍性。”
顺便指出,数学本身就是美学的四大构件之一。这四大构件是,史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学。因而数学教育是审美素质教育的一部分。
数学追求的目标是,从混沌中找出秩序,使经验升华为规律,将复杂还原为基本。所有这些都是美的标志。但长期以来,我们忽视对数学的美的教育。讲述数学之美有利于培养鉴赏力。值得注意的是,在历史上,重大课题的选择与结果的评价,美学价值是一个重要的标准。例如,正电子的猜想便是狄拉克从数学对称美的角度大胆预言出来的。他唯一的根据就是从电子运动的方程得出正负两个解。几年之后,这个预言得到了物理学家的证实。狄拉克后来说:“理论物理学家把数学美的要求当作信仰的行为,它没有什么使人非信不可的理由,但过去已经证明了这是有益的目标。”
为什么把美看得这样重要?因为人类的生存是按照美的原则来构建世界的。发现美、认识美和运用美,这是人类生存的要求。反过来,美又是人类进步的动力。追求美的实质就是追求自然界的数学美。人类一步一步地揭示自然界的数学规律,人类就越了解我们所处的宇宙的美。希腊箴言说,美是真理的光辉。因而追求美就是追求真。英国诗人济慈写道:美就是真,真就是美——这就是你所知道的, 和你应该知道的。
法国数学家阿达玛说:“数学家的美感犹如一个筛子,没有它的人永远成不了数学家。”可见,数学美感和审美能力是进行一切数学研究和创造的基础。那么,什么是美呢?美有两条标准:一、一切绝妙的美都显示出奇异的均衡关系(培根),二、“美是各部分之间以及各部分与整体之间固有的和谐。”(海森堡)。这是科学和艺术共同追求的东西。希尔伯特说:“我们无比热爱的科学把我们团结在一起。它像一座鲜花盛开的花园展现在我们眼前。在这个花园熟悉的小道上,你可以悠闲地观赏,尽情地享受,不需费多大力气,与心领神会的伙伴一起更是如此。但我们更喜欢寻找幽隐的小道,发现许多意想不到的令人愉快的美景;当其中一条小道向我们显示出这一美景时,我们会共同欣赏它,我们的欢乐也达到尽善尽美的境地。”
对美的追求起源于古代。毕达哥拉斯发现,在相同张力作用下的弦,当它们的长度成简单的整数比时,击弦发出的声音听起来是和谐的。正是基于这种认识,毕达哥拉斯学派定出了音律。顺便指出,我国在古代也以同样的方式确定了音律。这是人类第一次确立了可理解的东西与美之间的内在联系,是人类历史上一个真正重大的发现。牛顿的万有引力公式,爱因斯坦的质能转换公式,既是美,又是真。
数学的美表现在什么地方呢?表现在简单、对称、完备、统一和谐和奇异。
为什么我们这样重视美?并把它作为数学发展的动力与价值标准的一个重要因素呢?因为人们常常忽视它。人们只重视实用方面、科学方面,而对于审美情趣、智力挑战、心灵的愉悦诸方面,要么不予承认,即使承认,也认为只不过是次要的因素。但事实上,实用的、科学的、美学的和哲学的因素共同促进了数学的形成。把这些作出贡献、产生影响的因素除去任何一个,或抬高一个而贬低另一个都是违反数学发展史的
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