高中数学教学论文：浅谈二次函数在高中阶段的应用_课题研究

高中数学教学论文：浅谈二次函数在高中阶段的应用

一、进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射?：AB，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a0)与集合A的元素X对应，记为?(x)= ax2+ bx+c(a0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型I：已知?(x)= 2x2+x+2，求?(x+1)

这里不能把?(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。

类型Ⅱ：设?(x+1)=x2-4x+1，求?(x)

这个问题理解为，已知对应法则?下，定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。

一般有两种方法：

(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。

?(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6，再用x代x+1得?(x)=x2-6x+6

(2) 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。

令t=x+1，则x=t-1 (t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6从而?(x)= x2-6x+6

二、二次函数的单调性，最值与图象。

在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间(-，-b2a ]及[-b2a ，+) 上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。

类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。

(1)y=x2+2|x-1|-1

(2)y=|x2-1|

(3)= x2+2|x|-1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。

类型Ⅳ设?(x)=x2-2x-1在区间[t，t+1]上的最小值是g(t)。

求：g(t)并画出 y=g(t)的图象

解：?(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2，在x=1时取最小值-2

当1[t，t+1]即01，g(t)=-2

当t1时，g(t)=?(t)=t2-2t-1

当t0时，g(t)=?(t+1)=t2-2

t2-2， (t0)