重视数学学习中的第六感提高数学解题能力_教学随笔

重视数学学习中的第六感提高数学解题能力

摘要：数学习题变化万千，但在无穷变化的过程中，总有规律可循。当面临一个生疏的或非常规的数学问题时，数学能力较强者总是能进行有目的、系统的尝试，并作出有利于证实他的结论的策略的假设。在解答数学问题时，首先通过直觉思维和想象运用归纳、类比等方法，对解题方法形成猜想。这是数学解题中必须遵循的一条规则。而直觉思维起了非常重要的作用，即为通常所说的“第六感”。

数学教学中将培养学生的"思维能力"作为首要任务，使学生具备正确健康的解题能力，人们在教育的实践中实现了认识上的转变。在注重逻辑思维能力培养的同时，还应该注重观察力、直觉思维力、想象力的培养。要让学生会算、会想、更要会猜，会感觉数学。而在现实的数学教学过程中直觉思维能力的培养长期得不到重视，学生在学习的过程中对数学的本质容易造成误解，认为数学是枯燥乏味的；同时对数学的学习也缺乏取得成功的必要的信心，从而丧失数学学习的兴趣。过多的注重逻辑思维能力的培养，不利于思维能力的整体发展。培养直觉思维能力是社会发展的需要，是新课程改革中的重要环节，也是每一位中学数学教师所要思考和重视的问题。十年的教学过程使笔者对此有一些不成熟的想法和思考，本文做探讨如下。

一、数学直觉思维的定义通俗的讲，数学直觉思维是具有意识的人脑对数学现象(结构及其关系)的某种直接的领悟和洞察。

对于直觉思维作以下说明：

(1)直觉思维与直观、直感的区别

直观与直感都是以真实的事物为对象，通过各种感觉器官直接获得的感觉或感知。例如等腰三角形的两个底角相等，两个角相等的三角形是等腰三角形等概念、性质的界定并没有一个严格的证明，只是一种直观形象的感知。而直觉思维的研究对象则是抽象的数学结构及其关系。伟大的数学家庞加莱说："直觉思维不必建立在感觉明白之上．感觉不久便会变的无能为力。例如，我们仍无法想象千角形，但我们能够通过直觉思维一般地思考多角形，多角形把千角形作为一个特例包括进来。"由此可见直觉思维是一种深层次的心理活动，没有具体的直观形象和可操作的逻辑顺序作思考的背景。那些富有创造性的科学家与众不同的地方，在于他们对研究的对象有一个活全生的构想和深刻的了解，这些构想和了解结合起来，就是所谓“直觉思维”……，因为它适用的对象，一般说来，在我们的感官世界中是看不见的。

(2)直觉思维与逻辑的关系

从思维方式上来看，思维可以分为逻辑思维和直觉思维。长期以来人们刻意的把两者分离开来，其实这是一种误解，逻辑思维与直觉思维从来就不是割离的。有一种观点认为逻辑重于演绎，而直观重于分析，从侧重角度来看，此话不无道理，但侧重并不等于完全，数学逻辑中是否会有直觉思维成分?数学直觉思维是否具有逻辑性?比如在日常生活中有许多说不清道不明的东西，人们对各种事件作出判断与猜想离不开直觉思维，甚至可以说直觉思维无时无刻不在起作用。数学也是对客观世界的反映，它是人们对生活现象与世界运行的秩序直觉思维的体现，再以数学的形式将思考的理性过程格式化。数学最初的概念都是基于直觉思维，数学在一定程度上就是在问题解决中得到发展的，问题解决也离不开直觉思维，下面我们就以数学问题的证明为例，来考察直觉思维在证明过程中所起的作用。

一个数学证明可以分解为许多基本运算或许多"演绎推理元素"，一个成功的数学证明是这些基本运算或"演绎推理元素"的一个成功的组合，仿佛是一条从出发点到目的地的通道，一个个基本运算和"演绎推理元素"就是这条通道的一个个路段，当一个成功的证明摆在我们面前开始，逻辑可以帮助我们确信沿着这条路必定能顺利的到达目的地，但是逻辑却不能告诉我们，为什么这些路径的选取与这样的组合可以构成一条通道。事实上，出发不久就会遇上叉路口，也就是遇上了正确选择构成通道的路段的问题。庞加莱认为，即使能复写出一个成功的数学证明，但不知道是什么东西造成了证明的一致性，……，这些元素安置的顺序比元素本身更加重要。笛卡尔认为在数学推理中的每一步，直觉思维力都是不可缺少的。就好似我们平时打篮球，要靠球感一样，在快速运动中来不及去作逻辑判断，动作只是下意识的，而下意识的动作正是在平时训练产生的一种直觉思维。

在数学教学过程中，老师由于把证明过程过分的严格化、程序化。学生只是见到一具僵硬的逻辑外壳，直觉思维的光环被掩盖住了，而把成功往往归功于逻辑的功劳，对自己的直觉思维反而不觉得。学生的内在潜能没有被激发出来，学习的兴趣没有被调动起来，得不到思维的真正乐趣。曾有报纸报道，"约30％的初中生学习了平面几何推理之后，丧失了对数学学习的兴趣"，这种现象应该引起数学教育者的重视与反思。

二、直觉思维的主要特点

直觉思维具有自由性、灵活性、自发性、偶然性、不确定性等特点，从培养直觉思维的必要性来看，笔者以为直觉思维有以下三个主要特点：

(1)简约性

直觉思维是对思维对象从整体上考察，调动自己的全部知识经验，通过丰富的想象作出的敏锐而迅速的假设，猜想或判断，它省去了一步一步分析推理的中间环节，而采取了"跳跃式"的形式。它是一瞬间的思维火花，是长期积累上的一种升华，是思维者的灵感和顿悟，是思维过程的高度简化，但是它却清晰的触及到事物的"本质"。

(2)创造性

现代社会需要创造性的人才，我国的教材由于长期以来借鉴国外的经验，过多的注重培养逻辑思维，培养的人才大多数习惯于按部就班、墨守成规，缺乏创造能力和开拓精神。直觉思维是基于研究对象整体上的把握，不专意于细节的推敲，是思维的大手笔。正是由于思维的无意识性，它的想象才是丰富的，发散的，使人的认知结构向外无限扩展，因而具有反常规律的独创性。

直觉思维是真正的数学家赖以生存的东西，许多重大的发现都是基于直觉思维。欧几里得几何学的五个公式都是基于直觉思维，从而建立起欧几里得几何学这栋辉煌的大厦；阿基米德在浴缸里找到了辨别王冠真假的方法；凯库勒发现苯分子环状结构更是一个直觉思维的成功典范。

(3)自信力

学生对数学产生兴趣的原因有两种，一种是教师的人格魅力，其二是来自数学本身的魅力。不可否认情感的重要作用，但笔者的观点是，兴趣更多来自数学现象本身。来自于探索数学的过程，成功可以培养一个人的自信，直觉思维发现伴随着很强的"自信心"。相比其它的物资奖励和情感激励，这种自信更稳定、更持久。当一个问题不用通过逻辑证明的形式而是通过自己的直觉思维获得，那么成功带给他的震撼是巨大的，内心将会产生一种强大的学习钻研动力，从而更加相信自己的能力。

高斯在小学时就能解决问题"1+2+……+99+100＝?"，这是基于他对数的敏感性的超常把握，这对他一生的成功产生了不可磨灭的影响。而现在的中学生极少具有直觉思维意识，对有限的直觉思维也半信半疑，不能从整体上驾驭问题，也就无法形成自信。

三、直觉思维的培养

一个人的数学思维，判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。数学直觉思维是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉思维也是不断提高的。数学直觉思维是可以通过训练提高的。唯物辩证法认为量变引起质变。

(1)扎实的基础是产生直觉思维的源泉直觉思维不是靠"机遇"，直觉思维的获得虽然具有偶然性，但决不是无缘无故的凭空臆想，而是以扎实的知识为基础。若没有深厚的功底，是不会进发出思维的火花的。正所谓功到自然成。一旦你真正感到弄懂一样东西，而且你通过大量例子以及通过与其它东两的联系取得了处理那个问题的足够多的经验．对此你就会产生一种关于正在发展的过程是怎么回事以及什么结论应该是正确的直觉思维。

(2)渗透数学的哲学观点及审美观念直觉思维的产生是基于对研究对象整体的把握，而哲学观点有利于高屋建瓴的把握事物的本质。这些哲学观点包括数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互转化、对称性等。

美感和美的意识是数学直觉思维的本质，提高审美能力有利于培养数学事物间所有存在着的和谐关系及秩序的直觉思维意识，审美能力越强，则数学直觉思维能力也越强。

(3)重视解题教学教学中选择适当的题目类型，有利于培养，考察学生的直觉思维。

例如选择题，由于只要求从四个选择支中挑选出来，省略解题过程，容许合理的猜想，有利于直觉思维的发展。实施开放性问题教学，也是培养直觉思维的有效方法。开放性问题的条件或结论不够明确，可以从多个角度由果寻因，由因索果，提出猜想，由于答案的发散性，有利于直觉思维能力的培养。

(4)设置直觉思维的意境和动机诱导这就要求教师转变教学观念，把主动权还给学生。新课程改革也要求我们的课堂是开放式的。对于学生的大胆设想给予充分肯定，对其合理成分及时给予鼓励，爱护、扶植学生的自发性直觉思维，以免挫伤学生直觉思维的积极性和学生直觉思维的悟性。教师应及时因势利导，解除学生心中的疑惑，使学生对自己的直觉思维产生成功的喜悦感。答案也呼之欲出。"跟着感觉走"是教师经常讲的一句话，其实这句话里已蕴涵着直觉思维的萌芽，只不过没有把它上升为一种思维观念。正所谓功到自然成。教师应该把直觉思维冠冕堂皇的在课堂教学中明确的提出，制定相应的活动策略，从整体上分析问题的特征；重视数学思维方法的教学，诸如：换元、数形结合、归纳猜想、反证法等，对渗透直觉思维观念与思维能力的发展大有稗益。

直觉思维是人类思维的重要形式之一，是创造性思维的前提和基础；直觉思维在未来的高科技信息社会中，能适应世界新技术革命需要，要想成为具有开拓精神、创新意识的拔尖型人才，具备超常的直觉思维是非常重要的。由于数学知识的严谨性、抽象性和系统性的特点，常常掩盖了直觉思维的存在和作用，以致人们误认为只有严格的逻辑思维对数学学习才有作用。同时，数学教师由于长期受推理论证的训练，也容易忽视直觉思维的存在和作用。但是直觉思维在数学学习中的重要性是毋庸质疑的。因此，在目前和今后的数学教学中，如何培养学生的直觉思维能力，要让学生会算、会想、更要会猜，会感觉数学，是数学教学的重要任务之一。

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