2.3.2抛物线的简单几何性质

　　(一)教学目标：

　　1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质;

　　2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形;

　　3.在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 .

　　(二)教学重点：抛物线的几何性质及其运用

　　(三)教学难点：抛物线几何性质的运用

　　(四)教学过程：

　　一、复习引入：(学生回顾并填表格)

　　1.抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线.

　　图形

　　方程

　　焦点

　　准线

　　2.抛物线的标准方程：

　　相同点：(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的 ，即 .

　　不同点：(1)图形关于x轴对称时，x为一次项，y为二次项，方程右端为 、左端为 ;图形关于y轴对称时，x为二次项，y为一次项，方程右端为 ，左端为 . (2)开口方向在x轴(或y轴)正向时，焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程右端取正号;开口在x轴(或y轴)负向时，焦点在x轴(或y轴)负半轴时，方程右端取负号.

　　二、讲解新课：

　　类似研究双曲线的性质的过程，我们以 为例来研究一下抛物线的简单几何性质：

　　1.范围

　　因为p>0，由方程 可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧;当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.

　　2.对称性

　　以-y代y，方程 不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.

　　3.顶点

　　抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程 中，当y=0时，x=0，因此抛物线 的顶点就是坐标原点.

　　4.离心率

　　抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示.由抛物线的定义可知，e=1.

　　对于其它几种形式的方程，列表如下：(学生通过对照完成下表)

　　标准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 准线 离心率

　　注意强调 的几何意义：是焦点到准线的距离.

　　思考：抛物线有没有渐近线?(体会抛物线与双曲线的区别)

　　三、例题讲解：

　　例1 已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 ，求它的标准方程，并用描点法画出图形.

　　分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p.

　　解：由题意，可设抛物线方程为 ，因为它过点 ，

　　所以 ，即

　　因此，所求的抛物线方程为 .

　　将已知方程变形为 ，根据 计算抛物线在 的范围内几个点的坐标，得

　　x 0 1 2 3 4 …

　　y 0 2 2.8 3.5 4 …

　　描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分

　　点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线.

　　例2斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB的长.

　　解法1：如图所示，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1，0)，准线方程x=—1.

　　由题可知，直线AB的方程为y=x—1

　　代入抛物线方程y2=4x，整理得：x2—6x+1=0

　　解上述方程得x1=3+2 ,x2=3—2

　　分别代入直线方程得y1=2+2 ,y2=2—2

　　即A、B的坐标分别为(3+2 ，2+2 )，(3—2 ，2—2 )

　　∴|AB|=

　　解法2：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1+x2=6,x1•x2=1

　　∴|AB|= |x1—x2|

　　解法3：设A(x1,y1)、B(x2,y2),由抛物线定义可知，

　　|AF|等于点A到准线x=—1的距离|AA′|

　　即|AF|=|AA′|=x1+1

　　同理|BF|=|BB′|=x2+1

　　∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8

　　点评：解法2是利用韦达定理根与系数的关系，设而不求，是解析几何中求弦长的一种普遍适用的方法;解法3充分利用了抛物线的定义，解法简洁，值得引起重视。

　　变式训练：过抛物线 的焦点 作直线，交抛物线于 , 两点，若 ，求 。

　　解： ， ， 。

　　点评：由以上例2以及变式训练可总结出焦点弦弦长： 或 。

　　四、达标练习：

　　1.过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 ， 两点，如果 ，那么 =( )

　　(A)10 (B)8 (C)6 (D)4

　　2.已知 为抛物线 上一动点， 为抛物线的焦点，定点 ，则 的最小值为( )

　　(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

　　3.过抛物线 焦点 的直线 它交于 、 两点，则弦 的中点的轨迹方程是 ______

　　4.定长为 的线段 的端点 、 在抛物线 上移动，求 中点 到 轴距离的最小值，并求出此时 中点 的坐标.

　　参考答案：1. B 2. B 3. 4. , M到 轴距离的最小值为 .

　　五、小结 ：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等.

　　六、课后作业：

　　1.根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图.

　　(1)顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8.

　　(2)顶点在原点，焦点在y轴上，且过P(4，2)点.

　　(3)顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P(m，-3)到焦点距离为5.

　　2.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2、B2，则∠A2FB2等于　 .

　　3.抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程.

　　4.以椭圆 的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长.

　　5.有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米?

　　习题答案：

　　1.(1)y2=±32x (2)x2=8y (3)x2=-8y

　　2.90° 3.x2=±16 y 4. 5. 米

　　七、板书设计(略)

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