三角函数的性质及三角恒等变形
三角函数的性质及三角恒等变形
概述:三角函数的基础是平面几何中的相似形与圆,但研究的方法是采用代数中函数的研究方法和代数运算的方法,于是使三角函数成了联系几何和代数的桥梁,使它在几何和代数中都能有所作为。这无疑使三角函数在复数、立体几何和解析几何中有着广泛的应用。
【考点梳理】
一、考试内容
1.角的概念的推广,弧度制。
2.任意角的三角函数、单位圆中的三角函数、同角三角函数的基本关系、正弦、余弦的诱导公式。
3.两角和与差的正弦、余弦、正切,二倍角的正弦、余弦、正切。
4.正弦函数、余弦函数的图像和性质、周期函数、函数y=Asin(ωx+φ)的图像、正切函数的图像和性质、已知三角函数值求角。
5.余弦定理、正弦定理。利用余弦定理、正弦定理解斜三角形。
二、考试要求
1.理解任意角的概念、弧度制的意义,并能正确地进行弧度和角度的换算。
2.掌握任意角的三角函数的定义,了解余切、正割、余割的定义,掌握同角三角函数的基本关系,掌握正弦、余弦的诱导公式,了解周期函数和最小正周期的意义,了解奇函数、偶函数的意义。
3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。
4.能正确地运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。5.了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y= Asin(ωx+φ)的简图,理解A、ω、φ的物理意义。
6.会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsinx,arccosx,arctanx表示。
7.掌握余弦定理、正弦定理,并能初步运用它们解斜三角形。
(2005年考纲删减知识点:“能利用计算器解决三角形的计算问题”)
三、知识网络:
【命题研究】
分析近五年的全国高考试题,有关三角函数的内容平均每年有25分,约占17%,浙江省2004年高考试题这部分内容有17分,占总分11.3%。试题的内容主要有两方面;其一是考查三角函数的性质和图象变换;尤其是三角函数的最大值、最小值和周期,题型多为选择题和填空题;其二是考查三角函数式的恒等变形,如利用有关公式求植,解决简单的综合问题,除了在填空题和选择题中出现外,解答题的中档题也经常出现这方面的内容,是高考命题的一个常考的基础性的题型。其命题热点是章节内部的三角函数求值问题,命题新趋势是跨章节的学科综合问题。
数学试题的走势,体现了新课标的理念,突出了对创新能力的考查。
【复习策略】
三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分,新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向,突出“和、差、倍角公式”的作用,突出正、余弦函数的主体地位,加强了对三角函数的图象与性质的考查,因此三角函数的性质是本章复习的重点。第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上,要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握,力求系统化、条理化和网络化,使之形成比较完整的知识体系;第二、三轮复习以基本综合检测题为载体,综合试题在形式上要贴近高考试题,但不能上难度。当然,这一部分知识最可能出现的是“结合实际,利用少许的三角变换(尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用)来考查三角函数性质”的命题,难度以灵活掌握倍角的余弦公式的变式运用为宜。由于三角解答题是基础题、常规题,属于容易题的范畴,因此,建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上,这样就能够适应未来高考命题趋势。总之,三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力。
解答三角高考题的一般策略:
(1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”。
(2)寻找联系:运用相关三角公式,找出差异之间的内在联系。
(3)合理转化:选择恰当的三角公式,促使差异的转化。
三角函数恒等变形的基本策略:
(1)常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
(2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配凑角:α=(α+β)-β,β=α+β/2-α-β/2等。
(3)降次,即二倍角公式降次。
(4)化弦(切)法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切)。
(5)引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+φ),这里辅助角φ所在象限由a、b的符号确定,φ角的值由tanφ=b/a确定。
第一课时
【典型例题分析与解答】
例1、
分析:对三角函数式化简的目标是:
(1)次数尽可能低;
(2)角尽可能少;
(3)三角函数名称尽可能统一;
(4)项数尽可能少。
观察欲化简的式子发现:
(1)次数为2(有降次的可能);
(2)涉及的角有α、β、2α、2β,(需要把2α化为α,2β化为β);
(3)函数名称为正弦、余弦(可以利用平方关系进行名称的统一);
(4)共有3项(需要减少),由于侧重角度不同,出发点不同,本题化简方法不止一种。
解法一:
解法二:(从“名”入手,异名化同名)
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