惠州市2015届高三数学第二次调研试题（文科）

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡一并交回.

参考公式：锥体的体积公式 ，其中 为锥体的底面积， 为锥体的高.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.

1.设集合 ，集合 ，则 = ( )

A. B. C. D.

2.复数 ( 为虚数单位)在复平面上对应的点位于 ( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.已知命题 ，则 为 ( )

A. B.

C. D.

4.已知向量 ， ，则 ( )

A. B. C. D.

5.下列函数中，在区间 上为增函数的是( )

A. B. C. D.

6.若变量 满足约束条件 ，则 的最小值为( )

A. B. C. D.

7.已知函数 的部分

图象如图所示,则函数 的表达式是( )

A. B.

C. D.

8.方程 有实根的概率为 ( )

A. B. C. D.

9.圆心在 ，半径为 的圆在 轴上截得的弦长等于 ( )

A. B. C. D.

10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数 与该班人数 之间的函数关系用取整函数 ( 表示不大于 的最大整数)可以表示为 ( )

A. B. C. D.

二、填空题：(本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分.每小题5分，满分20分)

(一)必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答.

11.抛物线 的准线方程是 .

12.在等比数列 中， ， ，则 _________.

13.在△ 中， ， ， ，则 _________.

(二)选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数).以原点 为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，则直线 和曲线 的公共点有_______ 个.

15.(几何证明选做题)如图，在半径为3的圆 中，直径 与

弦 垂直，垂足为 ( 在 、 之间). 若 ，

则 ________.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(本小题满分12分)

设向量 ， ， .

(1)若 ，求 的值;

(2)设函数 ，求 的最大值.

17.(本小题满分12分)

移动公司在国庆期间推出4G套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率.

(1) 求某人获得优惠金额不低于300元的概率;

(2) 若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出两人，求这两人获得相等优惠金额的概率.

18.(本小题满分14分)

如图，菱形 的边长为 ， ， .将菱形 沿对角线 折起，得到三棱锥 ，点 是棱 的中点， .

(1)求证： 平面 ;

(2)求三棱锥 的体积.

19.(本小题满分14分)

已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ( 且 ).

(1)求证：数列 是等差数列;

(2)求 和 .

20.(本小题满分14分)

已知椭圆 过点 ，点 是椭圆的左焦点，点 、 是椭圆 上的两个动点，且 、 、 成等差数列.

(1)求椭圆 的标准方程;

(2)求证：线段 的垂直平分线经过一个定点 .

21.(本小题满分14分)

设函数 ， 且 . 曲线 在点 处的切线的斜率为 .

(1)求 的值;

(2)若存在 ，使得 ，求 的取值范围.

惠州市2015届高三第二次调研考试

文科数学答案与评分标准

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

题号

12345678910

答案

1【解析】方程 解得 ，则

2【解析】由题意可知， ，则对应的点为

3【解析】将全称命题改为特称命题即可

4【解析】 ，则

5【解析】 ，所以 在区间 上为增函数.或者用排除法

6【解析】由约束条件画出可行域如图所示，

则根据目标函数画出直线 ，

由图形可知将直线 平移至 点取得 的

最小值，解方程组

得 ，即 代入可得 .

7【解析】从图可知 ，且 ，得 ，故 ，将点

的坐标代入函数 ，且 得 所以函数

的表达式为 .

8【解析】方程 有实数根时， 得 ，由几何概型知 .

9【解析】圆心 到 轴的距离为 ，圆半径 ，由勾股定理知

半弦长为 ，则弦长为 .

10【解析】当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除

以10再用这个余数与3相加，若和大于等于10就增选一名代表，将二者合并便得到推选

代表人数 与该班人数 之间的函数关系，用取整函数 ( 表示不大于 的最大整

数)可以表示为 .或者用特值法验证也可.

二、填空题(本大题共5小题，共20分。第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分.)

11. 12. 13. 14. 15.

11【解析】化为抛物线的标准方程 ，则 ，得 ，且焦点在 轴上，所以 ，即准线方程为 .

12【解析】由等比数列的性质知 ，故 .

13【解析】因为 ，所以 ，而 ，所以 ，所以 .

14【解析】直线的普通方程为 ，圆的普通方程为 ，圆心

到直线的距离为 ，所以直线 和曲线 相切，公共点只有 个.

15【解析】因为 ，且 ，所以 ，

所以 . 或者由相交弦定理 ，

即 ，且 ，得 .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16. (本小题满分12分)

解：本题考查平面向量与三角函数的综合应用，侧重考查三角函数的性质.

(1)由 ， 1分

， 2分

及 ，得 .又 ，从而 ， 4分

所以 . 6分

(2) 9分

时， 取最大值1. 11分

所以 的最大值为 . 12分

17. (本小题满分12分)

解(1)设事件 =某人获得优惠金额不低于300元， 1分

则 . 4分

(2)设事件 =从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额， 5分

由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人， 6分

分别记为 ，从中选出两人的所有基本事件如下：

， ， ， ， ， ， ， ， ， ，

， ， ， ， ，共15个. 9分

其中使得事件 成立的为 ， ， ， ，共4个 10分

则 . 12分

18. (本小题满分14分)

解(1)证明：因为点 是菱形 的对角线的交点，

所以 是 的中点.又点 是棱 的中点，

所以 是 的中位线， . 2分

因为 平面 , 平面 ，4分

所以 平面 . 6分

(2)三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积. 7分

由题意， ,

因为 ,所以 ， . 8分

又因为菱形 ，所以 . 9分

因为 ,所以 平面 ，即 平面 10分

所以 为三棱锥 的高. 11分

的面积为 ，13分

所求体积等于 . 14分

19.(本小题满分14分)

解(1)证明：当 时， ，① 2分

由上式知若 ，则

，由递推关系知 ，

由①式可得：当 时， 4分

是等差数列，其中首项为 ，公差为 . 6分

(2) ， . 8分

当 时， ， 10分

当 时， 不适合上式， 12分

14分

20. (本小题满分14分)

解：(1)设椭圆C的方程为 ， 1分

由已知，得 2分

解得 3分

椭圆的标准方程为 . 4分

(2)证明：设 ， ，由椭圆的标准方程为 ，

可知 ， 5分

同理 ， 6分

， 7分

， ，

. 8分

(ⅰ)当 时，由 得 ，

.

设线段 的中点为 ，由 ，

得线段 的中垂线方程为 ， 11分

，该直线恒过一定点 . 12分

(ⅱ)当 时， ， 或 ， ，

线段 的中垂线是x轴，也过点 .

综上，线段 的中垂线过定点 . 14分

(2)问【解法二】

(ⅰ)若 斜率存在时：

设 直线为

联立 ，消 得： 5分

设点 ，则： 6分

由于 且

所以 ，

又因为 ，其中 ，故

可得 ，从而 8分

由(3)式及 得

所以直线 的中垂线为 10分

化简得 11分

故：直线 的中垂线过定点 12分

(ⅱ)若 斜率不存在时：同解法一。 14分

21.(本小题满分14分)

解：(Ⅰ) ， 2分

由曲线 在点 处的切线的斜率为 ，得 ，3分

即 ， . 4分

(Ⅱ)由 ，得 .

5分

令 ，得 ， . 且 7分

① 当 时， ，在 上， 为增函数，

，

令 ，即 ，解得 . 9分

② 当 时， ，

减极小值增

不合题意，无解. 11分

③ 当 时，在 上， ， 为减函数，

恒成立，则符合题意. 13分

综上， 的取值范围是 . 14分

以上就是查字典数学网的编辑为各位考生带来的2015届高三数学第二次调研试题，希望给各位考生带来帮助。

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