初三数学试题 抛物线与三角形面积
初三数学试题 抛物线与三角形面积
抛物线与三角形面积
抛物线与三角形面积问题涉及代数、几何知识,有一定难度。本文通过举例来谈这类题的解法。
一、顶点在抛物线y=ax2+bx+c的三角形面积的一般情况有:
(1)、以抛物线与x轴的两交点和抛物线的顶点为顶点的三角形,其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离,高的长是抛物线顶点的纵坐标的绝对值。其面积为:
S= |x1-x2|| |= | |
(2)、以抛物线与x轴、y轴的三个交点为顶点的三角形。其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离,高的长是抛物线与y轴上的截距(原点与y轴交点构成的线段长)的绝对值。其面积为:
S= |x1-x2||c|= |c|
(3)、三角形三个顶点在抛物线其他位置时,应根据图形的具体特征,灵活运用几何和代数的有关知识。
二、 1.求内接于抛物线的三角形面积。
例1.已知抛物线的顶点C(2, ),它与x轴两交点A、B的横坐标是方程x2-4x+3=0的两根,求ABC的面积。
解:由方程x2-4x+3=0,得x1=1, x2=3,
AB=|x2-x1|=|3-1|=2.
SABC= 2 = .
例2.已知二次函数y= x2+3x+2的图像与x轴交于A、B两点,与y轴交于D点,顶点为C,求四边形ACBD的面积。
解:如图1,S四边形ACBD=SABC+SABD
= | |+ |2|= .
例3.如图:已知抛物线y=x2-2x+3与直线y=2x相交于A、B,抛物线与y轴相交于C点,求ABC的面积。
解:由
得点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(3,6);抛物线与y轴交点C的坐标为
(0,3)如图2,由A、B、C三点的坐标可知,AB= =2 ,
BC= =3 ,AC= = 。
∵ AC2+BC2=AB2,
ABC为直角三角形,并且BCA=900,
SABC= ACBC= 3 =3。
2.求抛物线的解析式
例4.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B,其对称轴为直线x=-2,顶点为M,且SAMB=8,求它的解析式。
解:∵ 对称轴为直线x=-2,
- =-2, b=4,
y=x2+4x+c,
∵ SAMB= | |= | |=8,
c=0, y=x2+4x.
例5.设二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,若AC=20,
ACB=90,SACB=150,求二次函数的解析式。
解:如图3,∵ SACB= ACBC,
即150= 20BC, BC=15,
AB= = =25,
又∵ OCAB, SACB= ABOC
即150= 25OC, OC=12,故C点坐标为(0,12),
AO= =16,OB=AB-AO=25-16=9,
点A为(-16,0),点B为(9,0),
∵ 二次函数的图像过A、B、C三点,
解得 ,
所求解析式为:y=- x2- x+12.
3.求抛物线解析式中字母系数的值。
例6.已知抛物线y=x2-mx+m-2,
(1)求证:不论m为何实数,抛物线与x轴总有两个交点;
(2)若以抛物线与x轴、y轴三交点为顶点的三角形面积为4 ,求m的值。
解:
(1)=(-m)2-41(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+40,
不论m为何实数,抛物线与x轴总有两个交点。
(2)S= |c|= |m-2|=4 .
即 (m-2)4+4(m-2)2-320=0
解得 m=6或m=-2.
例7.设O和B为抛物线y=-3x2-2x+k与x轴的两个相异交点,O为原点,M为抛物线的顶点,当OMB为等腰直角三角形时,求k的值。
解:如图4,作MNx轴于N点,∵ OMB为等腰直角三角形, MN= OB,
即| |= ,
k1=0, k2=- .
又∵ 抛物线与x轴有两个相异交点,
=(-2)2-4(-3)k=4+12k0.
k- ,故取k=0。
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