王元院士谈菲尔茨奖获得者陶哲轩的工作_数学家故事

王元院士谈菲尔茨奖获得者陶哲轩的工作

新闻背景

2004年4月18日，两位年轻的数学家在预印本网站(arXiv:math)贴出一篇50页的论文，宣称证明了“存在任意长的素数等差数列”。一个月之后，2004年5月21日出版的美国《科学》杂志发表文章指出：这是一项惊天成就。而且，尽管论文尚未正式发表，但当年出版的由俄罗斯数学家马宁等著的《现代数论导引》一书就引用了该论文的结果。

这是个“一步登天”的杰作

1939年，数学家证明：有无穷多个由3个素数组成的等差数列。时隔半个世纪后，2002年，这两位年轻的数学家提出更大胆的设想，希望证明由4个素数组成的等差数列也有无穷多。但证明的结果却出乎意料：由素数构成的等差数列可以任意长。有人认为这是一个“大跃进”；而有人认为：“这简直吓人！”

2005年1月，美国《发现》杂志将这项证明列入“2004年度最重要的100项科学发现之一”。

2006年8月28日，在西班牙首都马德里举行的国际数学家大会的开幕式上，国际数学联盟主席约翰·鲍尔宣布：陶哲轩和俄罗斯人佩雷尔曼、美国普林斯顿大学的欧克恩科夫、法国巴黎第十一大学的沃纳共同获得菲尔茨奖。顷刻间，他们成为数学界的英雄，而对陶哲轩来说，这一天则更为特殊，因为在这一天：美国加州大学洛杉矶分校发布新闻公告称：陶哲轩成为该校第一位获得有“数学诺贝尔奖”之称的菲尔茨奖的数学家；澳大利亚数学科学研究院发布新闻公告称：陶哲轩是第一位荣获崇高的菲尔茨奖的澳大利亚人；在中文世界的媒体上，陶哲轩则被欢呼成继丘成桐之后第二位荣获菲尔茨奖的华裔数学家。

“陶哲轩是作出最伟大成就的最好数学家之一，这个全世界都知道；但很少有人知道，他的这项工作与中国有关，因为他的论文里引用了中国人在40年前的工作——陈氏定理，也就是陈景润‘1＋2’的论文。这表明中国与世界上最重要、最尖端的成就有关系。”

“今天不谈庞加莱猜想，我对庞加莱猜想的意见已经在6月8日新华社记者的访谈中讲得很清楚了，我的态度是：我是研究数论的，我不懂庞加莱猜想这个几何问题，我没有资格评价这个工作的好坏，国内也没有人能评价，但在感觉上，朱熹平和曹怀东两人做得很不错。今天我给你谈谈华裔数学家陶哲轩获得菲尔茨奖的其中一项重要工作，这个事情与中国有关系。”

2006年8月28日上午，在中国科学院数学与系统科学研究院办公室，王元在接受《科学时报》记者采访时如是说。

“陶哲轩究竟做了什么东西有这么伟大呢？我是这方面的专家，我给你讲讲，他和合作者证明了存在任意长的素数等差序列，而且有无穷多组。任意长素数等差序列的问题比庞加莱猜想要容易懂一些，但它的证明不见得比庞加莱猜想的证明更容易懂。陶哲轩和格林的工作是关于素数的，我这辈子是做素数，因此，我可以解释这个结果，公众是听得懂这个问题的，这也是数学的科普。”

“大家都知道他得了菲尔茨奖但极少有人知道他做了什么”

2004年4月18日，两位年轻的数学家在预印本网站贴出一篇50页的论文，宣称证明了“存在任意长的素数等差数列”；其中一位是加拿大不列颠哥伦比亚大学的本·格林（Ben Green），另一位是美国加州大学洛杉矶分校（UCLA）的陶哲轩。

早在1年多前，王元就注意到了陶哲轩和格林的这篇文章，“我根本想不到还能证明这个伟大的问题”，并不止一次地鼓励优秀的年轻人去读这篇文章。他说，“无论如何，陶今天已经是一个明星了，在国内大家都知道他获得了菲尔茨奖，但绝大多数人包括数论学家在内，极少有人知道他的这项伟大证明究竟讲的是什么，以及这项工作与中国数学家的关系。”

实际上，张贴这篇论文的网站与俄罗斯数学家佩雷尔曼在2002年11月公布解决庞加莱猜想的论文所张贴的网站是一样的；不同的是，佩雷尔曼的论文给出的是解决猜想的概要，而这篇论文给出的是猜想的完整证明；在2006年8月22日举行的国际数学家大会上，佩雷尔曼和陶哲轩同时获得菲尔茨奖，但佩雷尔曼拒绝了作1个小时大会报告的邀请，陶哲轩则作了1小时的大会报告，介绍任意长素数等差数列的证明。

王元说，这两项突破都是极端拔尖的，在菲尔茨奖的工作中也是非常突出的，今年的菲尔茨奖有4位获得者，佩雷尔曼和陶哲轩应邀作的是1小时大会报告，另外2位应邀作的是45分钟报告，由此可见差别。

但王元遗憾地对《科学时报》记者说：“在今年3月19日和3月24日纪念陈景润逝世十周年的两次会上，我都讲了陶哲轩在一篇很好的、可能得到菲尔茨奖的论文中引用了陈景润的论文，这是真凭实据，可以认为中国与世界上最重要、最尖端的成就有关系，这是真正非常重要的，可是你们在报道中都没有提到我的这个讲话，你们没有意识到它的重要性。”

陶哲轩与格林的证明讲的是什么东西？为什么那么重要呢？它与中国数学家的关系是什么呢？

“我不敢想象天下会有这样伟大的成就”

什么是素数呢？素数是指自然数中大于1且只能被1和自身整除的数，整数可以由素数的乘积表示出来，而且这个表示是唯一的。王元说，素数是数学中最根本的东西，它好像是整数里的一个砖，因此，研究清楚素数的问题非常重要，但是要从素数中得出一条定理是极为困难的。

研究整数性质的数学被称为“数论”，素数性质的研究是数论中最古老与最基本的话题之一，早在公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德就已经证明素数有无穷多个。2004年，陶哲轩和格林证明了素数构成的等差数列可以任意长。王元说：“我不敢想象天下会有这样伟大的成就。”为什么这样讲呢？

等差数列是指一组数列中前后两个数之差为恒定常数的数列，由素数构成的等差数列就是素数等差数列，比如3、5、7，就是由3个素数构成的等差数列。王元说，早在很久以前，数学家们就认为由素数构成的等差数列可能任意长。1939年，荷兰数学家Johannes van der corput证明：有无穷多个由3个素数构成的等差数列。2002年，陶哲轩和格林想证明，由4个素数构成的等差数列的数目是不是也无穷多？

“但是，他们得到的结果几乎是一个不能想象的伟大成就，他们证明由素数构成的等差数列可以任意长，而且有任意多组。4个数的素数等差数列可以有无穷多个的猜想都还没有证明，他们一下就跳这么远。”王元说，“为什么这样讲呢？目前在最先进的计算机上发现的最长的素数等差数列是23，也就是说是由23个素数构成一个等差数列，这已经是一个很惊人的数字了，你可以把这个数列在报纸上抄给公众看看，第一项是素数56211383760397，公差是44546738095860，所以，第23个素数是首项加公差乘以22，这已经是一个复杂得不得了的问题了，而他们推出的是这个数列的长度可以是任意的，也就是说，对于任意值K（比如1亿），存在K个素数等差级数列，K是100亿也可以，这简直吓人。而且，即使目前最好的计算机也无法找出超过23个数的素数等差数列，因此这个猜想只能用数学方法来证明。”

陶哲轩是天才吗？王元说：“他当然是个天才，而且是难得的天才，是几十年都遇不到的一个大天才，他的论文中提到了中国人的工作，说明我们中国人在数学上并不是很差的。”

“这篇论文引用了陈景润的工作”

陶哲轩和格林证明的是“存在任意长度的素数等差数列”，这项工作与陈景润的工作有什么关系呢？

“他们的论文中引用了陈景润的文章，这表明认为中国与世界上最重要、最尖端的成就有关系是有真凭实据的。”王元说，“陶哲轩是做出最大成就的最好的数学家之一，这个全世界都知道，他的论文中引用了陈景润40年前所做的工作。陈景润伟大在什么地方呢？这么伟大的工作都引用了他的文章，怎么不重要？这可比徐迟的《哥德巴赫猜想》不知要重要多少倍。”

他讲述了陈景润的工作与陶哲轩工作间的关系。

1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫致信瑞士数学家欧拉，提出两个猜想：（1）任何一个大于2的偶数都是两个素数之和（表为1＋1）；（2）任何大于5的奇数都是3个素数之和。同年6月30日，欧拉回信表示相信哥德巴赫猜想是对的，但他不能加以证明，容易证明（2）是（1）的推论，所以（1）是最基本的。

哥德巴赫猜想貌似简单，要证明它却实在不易，成为数学中一个著名的难题。在1900年的国际数学家大会上，德国数学家希尔伯特将哥德巴赫猜想看成是以往遗留的最重要的问题之一，并介绍给20世纪的数学家解决；在1921年的一个国际数学大会上，英国数学家哈代认为，猜想（1）的困难程度可以和任何没有解决的数学问题相比。

从18世纪开始，数学家们前赴后继，努力用多种方法推进这项工作。在多位数学家成就的基础上经过多年潜心研究后，1966年5月，我国数学家陈景润在《科学通报》上发布了“1＋2”证明的摘要，这篇论文的完整证明发表在1973年的第二期《中国科学》上，在国际数学界引起轰动，并将之命名为“陈氏定理”。王元说：“这是迄今为止世界上关于哥德巴赫猜想（1）最好的成果，无人超越。”

陶哲轩和格林在2004年的论文中引用了“陈氏定理”。中科院晨兴数学中心的田野教授告诉王元：“最近陶哲轩到加拿大蒙特利尔大学作演讲，我去听了，他在黑板上写下了陈景润的两个定理，一个是1＋2的定理，另一个是孪生素数对应于1＋2的定理。”王元认为，由此可见陶哲轩对陈景润的尊重。

“在陈景润证明‘1＋2’之后40年，他的工作还与世界上最伟大、最顶尖的工作联系在一起，这就是他工作重要性的一个最好证明。”

“我希望中国的青年人能够向他学习”

王元今年76岁，陶哲轩31岁，两人至今没有会过面。但王元在一年多前读到陶哲轩的这篇素数论文后，认为非常重要，“到处向数论学家推荐，也不止一次鼓励优秀的年轻人去读这篇论文”。

他说，“现在，我们准备在晨兴数学中心搞一个研究班，专门读他的论文，晨兴数学中心近十年来一直将数论作为首要支持项目，丘成桐、杨乐、张寿武等始终支持，对这个项目更多次热情地表示支持。这样我们就可以跟踪世界上最前沿的东西，假如我身体好的话，我会亲自参加，我会给大家作一个公共报告，讲这个猜想是怎么回事，与过去猜想有什么关系，也就是说它的来龙去脉。”

陶哲轩工作的重要性在什么地方呢？王元说：“你不能问这样的工作有什么重要性，就像不能讲庞加莱猜想和哥德巴赫猜想有什么重要性一样，这些猜想最重要的地方是它们带动或由此创造了很多数学的方法和思想，因为证明这些猜想需要用新工具或新方法。我之所以还没有搞清楚陶哲轩这个证明的详细情况，不清楚它的整个结构，就是因为它用的不是过去的老方法，我们现在要当学生来学习他的东西。假如我们连他们的东西都学不会，也弄不清所以然的话，那么我们这里就够不上是一个很好的数论组。”“已经有年轻人经过一年多努力，基本上弄清楚了陶哲轩和格林的论文的细节。”

“陶哲轩的工作最重要的地方是用了新方法，佩雷尔曼工作的重要性也在于他用了新方法。我现在动员大家来学陶哲轩的东西，学习要靠年轻人，我希望中国的青年人能够向他学习。”

谈到对学习数学的青年学生的期望，王元说：“在中国现阶段，最要紧的是大家要将名利思想看得淡泊一点，要诚信，不能有丝毫的作假，尤其不能自己欺骗自己，个人的品质是最重要的。”

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