完全数的前世今生
公元前3世纪时,古希腊数学家对数字情有独钟。他们在对数的因数分解中,发现了一些奇妙的性质,如有的数的真因数之和彼此相等,于是诞生了亲和数;而有的真因数之和居然等于自身,于是发现了完全数。6是人们最先认识的完全数。
发现完全数
研究数字的先师毕达哥拉斯发现6的真因数1、2、3之和还等于6,他十分感兴趣地说:“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽,因为它的部分是完整的,并且其和等于自身。”
古希腊哲学家柏拉图在他的《共和国》一书中提出了完全数的概念。
约公元前300年,几何大师欧几里得在他的巨著《几何原本》第九章最后一个命题首次给出了寻找完全数的方法,被誉为欧几里得定理:“如果2n-1是一个素数,那么自然数2n-1一定是一个完全数。”并给出了证明。
公元1世纪,毕达哥拉斯学派成员、古希腊著名数学家尼可马修斯在他的数论专著《算术入门》一书中,正确地给出了6、28、496、8128这四个完全数,并且通俗地复述了欧几里得寻找完全数的定理及其证明。他还将自然数划分为三类:富裕数、不足数和完全数,其意义分别是小于、大于和等于所有真因数之和。
千年跨一步
完全数在古希腊诞生后,吸引着众多数学家和数学爱好者像淘金般去寻找。可是,一代又一代人付出了无数的心血,第五个完全数没人找到。
后来,由于欧洲不断进行战争,希腊、罗马科学逐渐衰退,一些优秀的科学家带着他们的成果和智慧纷纷逃往阿拉伯、印度、意大利等国,从此,希腊、罗马文明一蹶不振。
直到1202年才出现一线曙光。意大利的斐波那契,青年时随父游历古代文明的希腊、埃及、阿拉伯等地区,学到了不少数学知识。他才华横溢,回国后潜心研究所搜集的数学,写出了名著《算盘书》,成为13世纪在欧洲传播东方文化和系统将东方数学介绍到西方的第一个人,并且成为西方文艺复兴前夜的数学启明星。斐波那契没有放过完全数的研究,他经过推算宣布找到了一个寻找完全数的有效法则,可惜没有人共鸣,成为过眼烟云。
光阴似箭,1460年,还当人们迷惘之际,有人偶然发现在一位无名氏的手稿中,竟神秘地给出了第五个完全数33550336。这比起第四个完全数8128大了4000多倍。跨度如此之大,在计算落后的古代可想发现者之艰辛了,但是,手稿里没有说明他用什么方法得到的,又没有公布自己的姓名,这更使人迷惑不解了。
发现非一帆风顺
在无名氏成果鼓励下,15至19世纪是研究完全数不平凡的日子,其中17世纪出现了小高潮。
16世纪意大利数学家塔塔利亚小时曾被法国入侵者用刀砍伤舌头,落下了口吃的疾患,后来靠自学成为一位著名数学家。他研究发现:当n=2和n=3至39的奇数时,2n-1(2n-1)是完全数。
17世纪“神数术”大师庞格斯在一本洋洋700页的巨著《数的玄学》中,一口气列出了28个所谓“完全数”,他是在塔塔利亚给出的20个的基础上补充了8个。可惜两人都没有给出证明和运算过程,后人发现其中有许多是错误的。
1603年,数学家克特迪历尽艰辛,终于证明了无名氏手稿中第五个完全数是正确的,同时他还正确地发现了第六个和第七个完全数216(217-1)和218(219-1),但他又错误地认为222(223-1)、228(229-1)和236(237-1)也是完全数。这三个数后来被大数学家费尔马和欧拉否定了。
公元前3世纪时,古希腊数学家对数字情有独钟。他们在对数的因数分解中,发现了一些奇妙的性质,如有的数的真因数之和彼此相等,于是诞生了亲和数;而有的真因数之和居然等于自身,于是发现了完全数。6是人们最先认识的完全数。
发现完全数
研究数字的先师毕达哥拉斯发现6的真因数1、2、3之和还等于6,他十分感兴趣地说:“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽,因为它的部分是完整的,并且其和等于自身。”
古希腊哲学家柏拉图在他的《共和国》一书中提出了完全数的概念。
约公元前300年,几何大师欧几里得在他的巨著《几何原本》第九章最后一个命题首次给出了寻找完全数的方法,被誉为欧几里得定理:“如果2n-1是一个素数,那么自然数2n-1一定是一个完全数。”并给出了证明。
公元1世纪,毕达哥拉斯学派成员、古希腊著名数学家尼可马修斯在他的数论专著《算术入门》一书中,正确地给出了6、28、496、8128这四个完全数,并且通俗地复述了欧几里得寻找完全数的定理及其证明。他还将自然数划分为三类:富裕数、不足数和完全数,其意义分别是小于、大于和等于所有真因数之和。
千年跨一步
完全数在古希腊诞生后,吸引着众多数学家和数学爱好者像淘金般去寻找。可是,一代又一代人付出了无数的心血,第五个完全数没人找到。
后来,由于欧洲不断进行战争,希腊、罗马科学逐渐衰退,一些优秀的科学家带着他们的成果和智慧纷纷逃往阿拉伯、印度、意大利等国,从此,希腊、罗马文明一蹶不振。
直到1202年才出现一线曙光。意大利的斐波那契,青年时随父游历古代文明的希腊、埃及、阿拉伯等地区,学到了不少数学知识。他才华横溢,回国后潜心研究所搜集的数学,写出了名著《算盘书》,成为13世纪在欧洲传播东方文化和系统将东方数学介绍到西方的第一个人,并且成为西方文艺复兴前夜的数学启明星。斐波那契没有放过完全数的研究,他经过推算宣布找到了一个寻找完全数的有效法则,可惜没有人共鸣,成为过眼烟云。
光阴似箭,1460年,还当人们迷惘之际,有人偶然发现在一位无名氏的手稿中,竟神秘地给出了第五个完全数33550336。这比起第四个完全数8128大了4000多倍。跨度如此之大,在计算落后的古代可想发现者之艰辛了,但是,手稿里没有说明他用什么方法得到的,又没有公布自己的姓名,这更使人迷惑不解了。
发现非一帆风顺
在无名氏成果鼓励下,15至19世纪是研究完全数不平凡的日子,其中17世纪出现了小高潮。
16世纪意大利数学家塔塔利亚小时曾被法国入侵者用刀砍伤舌头,落下了口吃的疾患,后来靠自学成为一位著名数学家。他研究发现:当n=2和n=3至39的奇数时,2n-1(2n-1)是完全数。
17世纪“神数术”大师庞格斯在一本洋洋700页的巨著《数的玄学》中,一口气列出了28个所谓“完全数”,他是在塔塔利亚给出的20个的基础上补充了8个。可惜两人都没有给出证明和运算过程,后人发现其中有许多是错误的。
1603年,数学家克特迪历尽艰辛,终于证明了无名氏手稿中第五个完全数是正确的,同时他还正确地发现了第六个和第七个完全数216(217-1)和218(219-1),但他又错误地认为222(223-1)、228(229-1)和236(237-1)也是完全数。这三个数后来被大数学家费尔马和欧拉否定了。
从1952年开始,人们借助高性能计算机发现完全数,至1985年才找到18个,多么可怜!
等待揭穿之谜
迄今为止,发现的30个完全数,统统都是偶数,于是,数学家提出猜测:存不存在奇数完全数。
1633年11月,法国数学家笛卡尔给梅森一封信中,首次开创奇数完全数的研究,他认为每一奇完全数必具有PQ2的形式,其中P是素数,并声称不久他会找到,可不仅直到他死时未能找到,而且至今,没有任何一个数学家发现一个奇完全数。它成为世界数论又一大难题。
虽然,谁也不知道它们是否存在,但经过一代又一代数学家研究计算,有一点是明确的。那就是如果存在一个奇完全数的话,那么它一定是非常大的。有多大呢?远的不说,当代大数学家奥尔检查过1018以下自然数,没有一个奇完全数;1967年,塔克曼宣布,如果奇完全数存在,它必须大于1036,这是一个37位数;1972年,有人证明它必大于1050;1982年,有人证明,它必须大于10120;……这种难于捉摸的奇完全数也许可能有,但它实在太大,以至超出了人们能够用计算机计算的范围了。
对奇完全数是否存在,产生如此多的估计,也是数学界的一大奇闻!
关于完全数还有许多待揭之谜,比如:完全数之间有什么关系?完全数是有限还是无穷多个?存在不存在奇完全数?
人们还发现完全数的一个奇妙现象,把一个完全数的各位数字加起来得到一个数,再把这个数的各位数字加起来,又得到一个数,一直这样做下去,结果一定是1。例如,对于28,2+8=10,1+0=1;对于496有,4+9+6=19,1+9=10,1+0=1等等。这一现象,对除6外的所有完全数是否成立?
以上这些难题,与其它数学难题一样,有待人们去攻克。尽管我们现在还看不到完全数的实际用处,但它反映了自然数的某些基本规律。探索自然规律,揭开科学上的未知之谜,正是科学追求的目标。
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