吴国平:谁最早发现负数?很可惜后人没有继续深入
我们先来看一个经典悖论例子:
在某个乡村有一位理发师,有一天他对外宣布一个原则:只给,不给自己刮胡子的人刮胡子。
那么这里就会产生一个矛盾:理发师给不给自己刮胡子呢?因为如果他给自己刮胡子,那么他就是给自己刮胡子的人,但按照他的原则,他又不该给自己刮胡子;如果他不给自己刮胡子,那么他就是不给自己刮胡子的人。同样按照他的原则,他又应该给自己刮胡子。这就产生了矛盾。
这是一则很经典“理发师悖论”,或许有些人看完有点“懵”。懵就对了,说明你在感受数学的逻辑思维,感受数学的数理能力。
数学的产生到发展以及应用,很多时候得益于人们在解决实际生活中遇到问题,或在数学领域研究工作时遇到的问题。如古人狩猎,耕种,房屋建设,原始交易等等,就促成自然数的产生。当古人需要进行份额分配的时候,又促成了分数的产生。
我们经常说数学来源于生活,同时又服务于社会,当人类社会不断往前发展的时候,古人发现自然数、分数等这些数学知识已经满足社会发展,如人们在生活中经常会遇到各种相反意义的量。像在市场交易时候,记账有余有亏;在计算粮仓存米时,有时要记进粮食,有时要记出粮食。以上这些实际生活情况,古人仅仅靠自然数和分数就无法解决,因此为了适应社会发展,人们就考虑了相反意义的数来表示。
于是人们引入了正负数这个概念,把余钱进粮食记为正,把亏钱、出粮食记为负。看到这里,很多人肯定会在想,那么是哪个国家最早发现负数这一概念呢?值得我们骄傲的是我们中国人。
成书于公元一世纪左右的《九章算术》,该书内容十分丰富,全书采用问题集的形式,收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题。在《九章算术》这部数学巨作的《方程章》中,刘徽为了解决方程问题,便引入了负数的概念和正负数加减法则。刘徽这么说道:“两算得失相反,要令正负以名之”,“同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之;其异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之”。这些是书中关于正负数的明确定义,书中给出的正负数加减法则,和现代的数学教科书上正负数概念完全一致。
下面就让我们一起来看看《九章算术》中的原题:
今有卖牛二、羊五,以买十三豕,有余钱一千;卖牛三、豕三,以买九羊,钱适足;卖羊六、豕八,以买五牛,钱不足六百。问牛、羊、豕价各几何?
书中给出的解法是:
术曰:如方程,置牛二、羊五正,豕十三负,余钱数正:次置牛三正,羊九负,豕三正;次置牛五负,羊六正,豕八正,不足钱负。以正负术人之。
现代数学去解释就是:
设每头牛、羊、豕的价格分别用为x、y、z,则可列出如下的方程(组):
2x+5y-13z=1000
3x-9y+3z=0
-5x+6y+8z=-600
解这样的方程组,对于现代数学来说简单不能再简单了。当时还没有出现负数概念的时候,解这样的方程组就会显得很困难。我们知道,在解方程组时,如果去移项消去一个未知数,那么在这个过程中往往就会出现某些未知数的系数为负数的情形。因此,《九章算术》不仅解决了方程组的解法,还引入负数的概念,扩大了数的系统。
当时古人还没有阿拉伯数字,刘徽当时是怎么去分辨正负数呢?古代数学计算主要是通过算筹来进行的,当时规定以红为正,黑为负;或将算筹直列作正,斜置作负。就这样简单粗暴直观的方法,只要碰见具有相反意义的量,就可以用正负数明确地加以区别。
外国首先提到负数的是印度人,整整比《九章算术》迟1千多年。欧洲第一个给予正负数以正确解释的是斐波那契,但他们比我们的祖先晚好几百年。甚至在欧洲,很长一段时间里认为负数是一种“荒谬的数”,很多人对负数感到迷惑不解,如把零看作“没有”,很难去理解比“没有”还要少的现象。
直到1637年,法国大数学家笛卡儿通过创立了坐标系和点的坐标概念,创立了解析几何学,负数才赋予真正的几何意义和实际意义,确立了它在数学中的地位。
数学来源于生活,同时又服务于生活,这句话我们经常都会说到,但现代数学教育课堂经常脱离实际生活,让数学知识学习显得很空洞和无用。数学教育离不开实际生活,更需要融入实际生活中,来凸显数学知识的重要性。就像正负数的学习,现代数学教育已经不需要像古人那样去繁琐解释,但我们仍可以通过一些具体生活例子,来帮助学生加以理解,如温度计上的刻度,海拔高度等等。这些贴近生活的例子,学生理解起来不难,帮助他们消化数学知识,又可以培养数学学习兴趣。
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