高一数学学习方法:集合大小定义的基本要求六
在上面的两个例子中我们会有这样的感觉,对于无限集合来说,从部分中似乎可以“产生”出整体来。比如射线上的每隔一厘米画一个点的例子,如果我们把不是10的倍数的点去掉,然后将平面“收缩”到原来尺度的十分之一,我们就重新得到了原来的那个点集。在装豆子的口袋的例子中,只要从去掉1号口袋后剩下的那些袋子中拿去一粒豆子,我们就又得到了原来的那个大口袋。这暗示了无限集合的一个重要特点:从某种意义上来说,它和自己的一部分相似。事实上,无限集合的一个定义就是“能和自己的一部分一一对应的集合”。所以在无限集合大小的比较中,违反了“整体大于部分”的原则并不奇怪,因为这恰好就是无限集合的特征。
如果使用一一对应的比较方法,我们发现它满足所有第二节中提出的关于集合大小定义的要求。而且除了“整体大于部分”这个我们已经解释过的不适用的原则外,不违反其他的直觉和常识。事实上用一一对应的方法来比较两个集合的大小,也是非常符合直观的。如果有两盒火柴,我们想比较哪盒中的火柴数量更多,我们大可不必去数出每盒中火柴的数量,那样很容易出错。其实只要从不断地从两盒火柴中拿掉相同数量的火柴,最后如果同时两盒都不剩下火柴,那么就说明数量一样多,否则就是还剩有火柴的那盒比较多。
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