中学趣味数学：四片果树林_考前复习

中学趣味数学：四片果树林

斯隆先生有四片果树林分别种了苹果树、柠檬树、柑橘树和桃树。

（1）果树林的果树都成行排列，每片果树林中各行的果树棵数相等。

（2）苹果林的行数最少，柠檬林比苹果林多一行。柑橘林比柠檬林多一行，桃树林又比柑橘林多一行。

（3）有三片果树林，每片果树林四周边界上的果树与其内部的果树棵数相等。

在这四片果树中，哪一片边界上的果树与其内部的果树棵数不相等？

（提示：用代数式表示（3）中提到的那三片果树林边界上果树的棵数和内部果树的棵数。对于这三片果树林的相邻边上果树的棵数，只有四对可能的值。）

答　案

如图所示：

中学趣味数学：四片果树林1

根据{（1）果树林的果树都成行排列，每片果树林中各行的果树

棵数相等。}，设{（3）有三片果树林，每片果树林四周边界上的果树与其内部的果树棵数相等。}中提到的三片果树林的两条相邻边上果树的棵数分别为x和y。于是边界上果树的棵数等于（y+y）+（x-2）+（x-2）,即2y+2x-4；而内部果树的棵数等于（x-2）（y-2）根据{（3）有三片果树林，每片果树林四周边界上的果树与其内部的果树棵数相等。}，

2y+2x-4=（x-2）(y-2）

解出x，

于是y必须大于4，而y-4必须整除4y-8。

经反复试验，得出以下四对数值：

（这里是全部可能的数值，因为（4y-8）/（y-4）等于4+8/（y-4），要使8/（y-4）为正整数，y必须是5、6、8或者12。）

根据{（2）苹果林的行数最少，柠檬林比苹果林多一行。柑橘林比柠檬林多一行，桃树林又比柑橘林多一行。}，一定是苹果林有5行，柠檬林有6行，柑橘林有7行，桃树林有8行。

由于有7行果树的柑橘林不能满足条件（3），所以边界上的果树与内部的果树棵数不相等的果树林是柑橘林。

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