阅读二次函数与一元二次方程根的分布综合
(1) 预习题
1. 设有一元二次函数y=2x2-8x+1.试问,
当x[3,4]时,随x变大,y的值变大还是变小?
由此y=f(x)在[3,4]上的最大值与最小值分别是什么?
解:经配方有y=2(x-2)2-7
∵对称轴x=2,区间[3,4]在对称轴右边,
y=f(x)在[3,4]上随x变大,y的值也变大,因此
ymax=f(4)=1.
ymin=f(3)=-5.
2.设有一元二次函数y=2x2-4ax+2a2+3.试问,此函数对称轴是什么?
当x[3,4]时,随x变大,y的值是变大还是变小?与a取值有何关系?
由此,求y=f(x)在[3,4]上的最大值与最小值.
解:经配方有y=2(x-a)2+3.
对称轴为x=a.
当a3时,因为区间[3,4]在对称轴的右边,因此,当x[3,4]时,随x变大,y的值也变大.
当3<a<4时,对称轴x=a在区间[3,4]内,此时,若3a,随x变大,y的值变小,但若a4,随x变大,y的值变大.
当4a时,因为区间[3,4]在对称轴的左边,因此,当x[3,4]时,随x变大,y的值反而变小.
根据上述分析,可知.
当a3时,ymax=f(4)=2a2-16a+35.ymin=f(3)=2a2-12a+21.
当3<a<4时,ymin=f(a)=3.
其中,a3.5时,ymax=f(4)=2a2-16a+35.
a3.5时,ymax=f(3)=2a2-12a+21.
当a4时,ymax=f(3)=2a2-12a+21.ymin=f(4)=2a2-16a+35.
(2) 基础题
例1.设有一元二次方程x2+2(m-1)x+(m+2)=0.试问:
(1)m为何值时,有一正根、一负根.
(2)m为何值时,有一根大于1、另一根小于1.
(3)m为何值时,有两正根.
(4)m为何值时,有两负根.
(5)m为何值时,仅有一根在[1,4]内?
解:(1)设方程一正根x2,一负根x1,显然x1、x2<0,依违达定理有m+2<0.
m<-2.
反思回顾:x1、x2<0条件下,ac<0,因此能保证△>0.
(2)设x1<1,x2>1,则x1-1<0,x2-1>0只要求(x1-1)(x2-1)<0,即x1x2-(x1+x2)+1<0.
依韦达定理有
(m+2)+2(m-1)+1<0.
(3)若x1>0,x2>0,则x1+x2>0且x1,x2>0,故应满足条件
依韦达定理有
(5)由图象不难知道,方程f(x)=0在[3,4]内仅有一实根条件为f(3)f(4)<0,即
[9+6(m-1)+(m+2)][16+8(m-1)+(m+2)]<0.
(7m+1)(9m+10)<0.
例2. 当m为何值时,方程 有两个负数根?
解:负数根首先是实数根, ,
由根与系数关系:要使方程两实数根为负数,必须且只需两根之和为负,两根之积为正.
由以上分析,有
即
当 时,原方程有两个负数根.
(3) 应用题
例1. m取何实数值时,关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的两个实根都大于2?
解:设f(x)=x2+(m-2)x+5-m,如图原方程两个实根都大于2
所以当-5<m-4时,方程的两个实根大于2.
例2.已知关于x方程:x2-2ax+a=0有两个实根,,且满足0<<1,>2,求实根a的取值范围.
解:设f(x)=x2-2ax+a,则方程f(x)=0的两个根,就是抛物线y=f(x)与x轴的两个交点的横坐标,如图0<<1,>2的条件是:
<1,>2.
例3.m为何实数时,关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的一个实根大于2,另一个实根小于2.
解:设f(x)=x2+(m-2)x+5-m,如图,原方程一个实根大于2,另一个实根小于2的充要条件是f(2)<0,即4+2(m-2)+5-m<0.解得m<-5.所以当m<-5时,方程的一个实根大于2,另一个实根小于2.
(4) 提高题
例1.已知函数 的图象都在x轴上方,求实数k的取值范围.
解:(1)当 ,则所给函数为二次函数,图象满足:
,即
解得:
(2)当 时,
若 ,则 的图象不可能都在x轴上方,
若 ,则y=3的图象都在x轴上方
由(1)(2)得:
反思回顾:此题没有说明所给函数是二次函数,所以要分情况讨论.
例2.已知关于x的方程(m-1)x2-2mx+m2+m-6=0有两个实根,,且满足0<<1<,求实数m的取值范围.
解:设f(x)=x2-2mx+m2+m-6,则方程f(x)=0的两个根,,就是抛物线y=f(x)与x轴的两个交点的横坐标.
如图,0<<1<的条件是
解得
例3.已知关于x的方程3x2-5x+a=0的有两个实根,,满足条件(-2,0),(1,3),求实数a的取值范围.
解:设f(x)=3x2-5x+a,由图象特征可知方程f(x)=0的两根,,并且(-2,0),(1,3)的
解得-12<a<0.
四、课后演武场
1.已知方程(m-1)x2+3x-1=0的两根都是正数,则m的取值范围是( B )
A. B. C. D.
2.方程 x2+(m2-1)x+(m-2)=0的一个根比1大,另一个根比-1小,则m的取值范围是( C )
A.0<m<2 B.-3<m<1 C.-2<m<0 D.-1<m<1
3.已知方程 有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( C )
A. B.
C. D.
4.已知关于x的方程3x2+(m-5)x+7=0的一个根大于4,而另一个根小于4,求实数m的取值范围.
可知方程f(x)=0的一根大于4,另一根小于4的充要条件是:f(4)<0)
5.已知关于x的方程x2+2mx+2m+3=0的两个不等实根都在区间(0,2)内,求实数m的取值范围.
征可知方程f(x)=0的两根都在(0,2)内的充要条件是
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