三角函数与三角代换
【真题体验】
1.(2012·江苏改编)已知cos3(π)=3(1),则sin-x(π)=________.
解析 sin-x(π)=cos3(π)=3(1).
2.(2012·江苏)设α为锐角,若cos6(π)=5(4),则sin12(π)的值为________.
解析 由条件可得cos3(π)=2ccs26(π)-1=25(7),sin3(π)=25(24),
所以sin12(π)=sin4(π)=2(2)25(7)=50(2).
3.(2011·江苏)函数f(x)=Asin(ωx+φ),(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(0)=________.
解析 因为由图象可知振幅A=,4(T)=12(7π)-3(π)=4(π),所以周期T=π=ω(2π),解得ω=2,将2(7π)代入,解得一个符合的φ=3(π),从而y=sin3(π),∴f(0)=2(6).
4.(2012·南通、泰州、扬州调研)已知角φ的终边经过点P(1,-2),函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于3(π),则f12(π)=________.
解析 由图象的相邻两条对称轴之间的距离等于3(π),得T=3(2π)=ω(2π)⇒ω=3,又角φ的终边经过点P(1,-2),所以sin φ=5(-2),cos φ=5(1),所以f(x)=sin(3x+φ)
f12(π)=sin+φ(π)=2(2)5(2)=-10(10).
5.(2010·江苏)定义在区间2(π)上的函数y=6cos x的图象与y=5tan x的图象的交点为P,过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=sin x的图象交于点P2,则线段P1P2的长为________.
解析 线段P1P2的长即为sin x的值,且其中的x满足6cos x=5tan x,整理得6sin2x+5sin x-6=0,解得sin x=3(2).线段P1P2的长为3(2).
【应对策略】
三角函数既是重要知识,又是重要工具,作为知识,它与函数、平面向量有着密不可分的联系,三角函数的概念、基本性质及图象都是从函数的角度出发的重要基础知识,三角恒等变换是三角函数作为工具的重要体现,在历年的高考试题中占有重要地位,尤其是三角函数与向量的综合更是考查重点,题型可能是填空题,也可能是解答题.需要熟练掌握三角函数内部知识的综合及三角函数与向量的综合.
必备知识
1.三角函数的概念,如象限角、轴线角、终边相同的角、三角函数的定义、定义域、符号法则、弧度制等;
2.同一个角的正弦、余弦、正切函数之间有平方关系和商数关系,平方关系:sin2α+cos2α=1,商数关系:tan α=cos α(sin α).根据同角三角函数的基本关系,如果已知角α的某一个三角函数值,就可以求出其它两个三角函数值,不过解的个数要根据角α所在的象限或范围确定.
3.诱导公式揭示的是k·2(π)±α(k∈Z)与α的三角函数值之间的等量关系式,记忆口诀是“奇变偶不变,符号看象限”.
4.正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性等三角函数性质,要熟练掌握;
5.熟记两角和与差的三角函数、二倍角公式,掌握公式的常见变形,如辅助角公式
asin α+bcos α=sin(α+φ),降幂公式cos2α=2(1+cos 2α),sin2α=2(1-cos 2α)等.
必备方法
1.解决三角函数实际应用问题的一般步骤是:(1)认真审题,找出自变量,分析出三角函数与自变量之间的函数关系,写出解析式,并且根据题意和实际意义确定函数定义域,简单地说,就是建立数学模型;(2)利用所学三角函数知识解决这一数学模型.
2.三角函数在代数中的应用,一般是用换元法将三角函数看做一个整体变量,利用其值域等性质限制函数定义域,再利用函数等代数知识求解.
3.三角恒等变形的基本思路
(1)“化异为同”,“切化弦”,“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧.
“化异为同”是指“化异名为同名”,“化异次为同次”,“化异角为同角”.
(2)角的变换是三角变换的核心,如β=(α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β)等.
命题角度一 三角变换与求值
[命题要点] ①给角求值;②给值求值;③给值求角.
【例1】► (2011·江苏)已知tan4(π)=2,则tan 2x(tan x)的值为________.
[审题视点] 由已知条件先确定tan x的值,再化简待求式,然后代入求得.
解析 由tan4(π)=2,得1-tan x(tan x+1)=2,解得tan x=3(1),
所以tan 2x(tan x)=1-tan2x(2tan x)=2(1-tan2x)=9()=9(4).
给角求值问题,一般方法是利用三角公式将非特殊角转化为特殊角;给值求值问题,要观察已知与所求的关系,注意从角、三角函数名称等几个方面观察,应用角的变换、名称变换等寻找关系;给值求角一般要有求两个方面,一是所求角的范围,二是所求角的某个三角函数值,很多时候还需要缩小角的范围,使得所求三角函数在该区间上单调.
【突破训练1】 (2012·江西改编)若tan θ+tan θ(1)=4,则sin 2θ=________.
解析 已知某个角的正切值,求关于正弦、余弦的齐次分式时,常将正弦、余弦转化为正切,即弦化切,以达到简解的目的.
∵tan θ+tan θ(1)=tan θ(1+tan2θ)=4,∴4tan θ=1+tan2θ,
∴sin 2θ=2sin θcos θ=sin2θ+cos2θ(2sin θcos θ)=1+tan2θ(2tan θ)=4tan θ(2tan θ)=2(1).
命题角度二 三角函数的图象与性质
[命题要点] 已知函数图象求函数解析式;三角函数性质的简单应用.
【例2】► 函数y=Asin(ωx+φ)2(π)的一段图象(如图所示),求其解析式.
[审题视点] 先由图象求出函数的周期,从而求得ω的值,再由关键点求φ,最后将(0,)代入求A的值.
解 设函数的周期为T,则4(3)T=8(7π)-8(π)=4(3)π,∴T=π,∴ω=T(2π)=2.
又∵2×8(π)+φ=2kπ+2(π)(k∈Z),∴φ=2kπ+4(π)(k∈Z),又∵|φ|<2(π),∴φ=4(π).
∴函数解析式为y=Asin4(π).又图象过点(0,),∴Asin4(π)=,
∴2(2)A=,∴A=2.∴所求函数的解析式为y=2sin4(π).
(1)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定ω;由图象上的关键点确定φ.
(2)求函数的周期时,注意以下规律:相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期,最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为4(1)个周期.
【突破训练2】 已知函数y=Asin(ωx+φ),ω>0(π)的图象的一部分如图所示.
(1)求f(x)的表达式;
(2)试写出f(x)的对称轴方程.
解 (1)观察图象可知:A=2且点(0,1)在图象上,
所以1=2sin(ω·0+φ),即sin φ=2(1),因为|φ|<2(π),所以φ=6(π).
又因为12(11)π是函数的一个零点,且是图象上升穿过x轴形成的零点,所以12(11π)ω+6(π)=2π,所以ω=2.故f(x)=2sin6(π).
(2)设2x+6(π)=B,则函数y=2sin B的对称轴方程为B=2(π)+kπ,k∈Z,
即2x+6(π)=2(π)+kπ(k∈Z), 解上式得x=2(kπ)+6(π)(k∈Z),
所以f(x)=2sin6(π)的对称轴方程为x=2(kπ)+6(π)(k∈Z).
命题角度三 三角函数的图象和性质的综合应用
[命题要点] ①三角函数的值域;②三角函数的最小正周期;③三角函数的单调区间;④三角函数的对称性.
【例3】► (2012·南京、盐城模拟)已知函数f(x)=sin xcos x-cos2x+2(1)(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)在区间4(π)上的函数值的取值范围.
[审题视点] 将三角函数化为标准型,利用周期公式求解,再利用三角函数的性质求值域.
解 (1)因为f(x)=2(3)sin 2x-2(1)cos 2x=sin6(π),故f(x)的最小正周期为π.
(2)当x∈4(π)时,2x-6(π)∈3(π),故所求的值域为3().
求解三角函数的周期,一般是化为标准型后,再利用周期公式求解,或者利用三角函数图象求周期.三角函数的值域有几种常见类型:一是可以化为标准型的,利用三角函数图象求解;二是可以化为二次型的,利用换元法求解,但要注意“新元”的取值范围.
【突破训练3】 (2012·苏州期中)已知函数f(x)=cos3(π)+2sin4(π)sin4(π).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)在区间2(π)上的值域.
解 (1)∵f(x)=cos3(π)+2sin4(π)·sin4(π)
=2(1)cos 2x+2(3)sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x)
=2(1)cos 2x+2(3)sin 2x+sin2x-cos2x
=2(1)cos 2x+2(3)sin 2x-cos 2x=sin6(π). ∴T=2(2π)=π.
(2)∵x∈2(π),∴2x-6(π)∈6(5π)
∴sin6(π)max=1,sin6(π)min=-2(1)
即f(x)=sin6(π)的值域为,1(1).
4.解决三角函数需注意的两个问题
一、要充分挖掘题中隐含条件
【例1】► 在△ABC中,如果4sin A+2cos B=1,2sin B+4cos A=3,则∠C的大小是________.
解析 两式平方相加并化简得sin(A+B)=2(1),所以sin C=2(1),得∠C=6(π)或6(5π),检验:当∠C=6(5π)时,A+B=6(π),则A,B∈6(π),sin A∈2(1),cos B∈,1(3),4sin A+2cos B∈(,4)与4sin A+2cos B=1矛盾,所以∠C=6(5π)舍去,即∠C=6(π).
老师叮咛:在三角恒等式中,如果不充分挖掘题中条件,又没有对结果检验,很容易产生增根,如本题两式平方相加并化简得sin(A+B)=2(1),所以sin C=2(1),得∠C=6(π)或6(5π),产生了增根6(5π).
二、给值求角时要注意缩小所求角的范围
【例2】► 若tan(α-β)=2(1),tan β=-7(1),且α,β∈(0,π),则2α-β的值为________.
解析 由上面解得tan α=3(1),α∈(0,π),所以α的范围可以缩小为4(π),同理,由tan β=-7(1)以及β∈(0,π),β的范围可以缩小为,π(π),所以2α-β∈(-π,0),又tan(2α-β)=1,所以2α-β的值为-4(3π).
老师叮咛:题中角的范围太大,使得正切函数在该区间上不单调,如有同学求出2α-β∈4(2π),得2α-β的值为-4(3π)或 4(π)或4(5π),这种错误主要是没有对2α-β的范围进行缩小而产生了增根,所以尽可能缩小角的范围很重要.
5.练习
1.给出下列说法:
①正切函数在定义域内是增函数;
②函数f(x)=2tan4(π)的单调递增区间是4(π)(k∈Z);
③函数y=2tan3(π)的定义域是+kπ,k∈Z(π);
④函数y=tan x+1在3(π)上的最大值为+1,最小值为0.
其中正确说法的序号是________.
2.(2012·苏北四市调研)已知函数f(x)=sin+x(π)·sin-x(π)+sin xcos x(x∈R).
(1)求f6(π)的值;
(2)在△ABC中,若f2(A)=1,求sin B+sin C的最大值.
3.已知函数f(x)=a+sin x(x)+b,当x∈[0,π]时,f(x)的值域是[3,4],求a,b的值.
4.(2012·广东)已知函数f(x)=2cos6(π)(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值;
(2)设α,β∈2(π),fπ(5)=-5(6),fπ(5)=17(16),求cos(α+β)的值.
6.练习答案
1.②④
2. (1) f6(π)=1. (2) sin B+sin C的最大值为.
3.. -1(b=3)或.(b=4,)
4.(1)ω=5(1).
(2)∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=5(4)×17(8)-5(3)×17(15)=-85(13).
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