二进制小数
我们曾经学了二进制以及八,十六及各种进制的整数,以及它们的加减乘除四则运算.大家必然会提问:与十进制分数、小数类似的二进制分数、小数,如何推广过来?
一个二进制小数,不妨先讲纯小数:0<n<1,
n=0.b1b2b3bi,每个bi或为0,或为1.(bi不全为0,也不全为1).
二进制小数的运算也和十进制小数运算相类似,差别在于这里是逢二进一,退一还二.
十进制小数化为二进制小数,主要通过分数作中间媒介.
例将(0.3)10化为二进制小数.(用(a)k表示k进位数).
这表示十进制有限小数可能化成二进制循环小数.
本节重点讲二进制循环小数如何化为二进制分数.回忆十进制循环小数化分数,一是要学习推理中的思想方法,二是最好归纳成一个易用易记的公式.
十进制循环小数化分数一般公式:
这些公式的推导过程如下,请体会思想方法.
齐,消去了让人害怕的无限长(虽然是循环)的小数):
至于混循环,只要借用已证得的公式①,因为
其实公式②中,当s=0时,就是公式①,复杂的公式②是借用简单情况下的公式①推来.推出后①包含在②之中.
对于二进制循环小数化二进制分数,也可同样推导.
至于二进制混循环小数:也记这小数的整体为S.
从推导和记忆规则看,公式(1)和(2)与十进制公式①和②相仿.那么读者一定会归纳出任意进制的循环小数化分数的公式.
解:用公式(1)
例3 化(0.100111011)2为二进制分数.
解:由公式(2)
直接检验
现在再看推导公式的方法,关键是把循环小数的值设为S,好比列方程设未知数,而10kS-S恰好消去了烫手的无限长的小数部分,推出方
这样的思想,在研究等比数列时也用到了.以前讲过有限项数列:a1,a2,a3,,ai,,an.所谓等比数列,即它每一项都是前一项乘上一公共值q,也即:
a1,a2=a1q,a3=a2q,,ai=ai-1q,,an=an-1q,
或
a1,a2=a1q,a3=a1q2,,ai=a1qi-1,,an=a1qn-1.
现在要求出a1+a2+a3++ai++an.
思想方法:第一步:
设S=a1+a2++an=a1+a1q+a1q2++a1qn-1.
上式两边乘上q,作为第二步:
qS=a1q+a1q2++a1qn-1+a1qn.
当q<1时,用上式两边减下式两边,得到
S-qS=a1-a1qn,
公式(3)称为公比小于1的等比级数前n项求和公式.它叙述为:前n项和等于首项与首项乘公比的n次幂的差除以1与公比之差.
例4
最后以一个很精彩的例来结束本节(本例选自美国1993年第四十四届高中数学竞赛第30题.虽是高中竞赛题,但本讲知识可解此题)
例5 x0是任意取定的数,满足0x0<1,对于所有的自然数n,xn由下述递推的关系式确定:
求使得x0=x5的x0的个数.
分析 所谓递推关系式,就是一旦给定了一个初始值x0,例如取x0=
总之,后项取决于前项的2倍值,当前项2倍值大于1时,就取该值;不小于1时(决不会超过2)就取它与1的差值.)
如果我们设x0是一个二进制小数,即设x0=(0.d1d2d3)2,那么
2x0=(10)2(0.d1d2d3)2=(d1d2d3d4)2,
即2x0。只是把x0的二进制表示中的小数点向右移一位.因此2x01相当于d1=0,2x01相当于d1=1;那么按递推关系式的规定,x1变得特别简明:
x1=(0.d2d3d4d5)2.
因为如果d1=0,即2x0<1,则x1=2x0=(0.d2d3d4)2;如果d1=1,即2x01,则x1=2x0-1=(1.d2d3d4)2-1=(0.d2d3d4)2,同样的规律,在由xi求xi+1时也成立,i=1,2,,即
x2=(0.d3d4d5d6)2;x3=(0.d4d5d6)2;
x4=(0.d5d6d7)2;x5=(0.d6d7d8)2;
按条件应有x0=x5,即:
(0.d1d2d3d4d5d6d7d8d9d10)2=(0.d6d7d8d9d10d11d12d13)2,
这相当于x0是循环节为5的二进制纯循环小数,即
由于每一个di的值,只有0,1两种可能,所以:
x0有25=32个可能值,它们依小到大排成:
但别忘了题设限定0x0<a,x0小于1,而由公式(1)知循环小数
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