商人的难题
朝圣者中的那位商人,与那种 "善于计算银币行情,靠巧妙的兑换来发达",以及 "......那样勾心斗角,甚至运用全部名誉来作抵押" 的金融投机家有区别。有一天早晨,当全体同伴沿途跋涉时,骑士、 乡绅同商人并排走着。他们提醒他,他还没有把欠同伴的难题提出 来。
"真的?"商人兴奋起来,"我这里就有。待会儿我们停下来休息 时,就请你们考虑这个数字难题。今天早晨我们有知人出发,我们可以一个跟着一个,称为 '鱼贯';或一双一双,称为 '比翼';或3 个3个,称为 '品字';或5个5个,称为"梅花';或6个6个,称为'长三';或10个10个,称为"梅拾';或15个一组,称为"三五';最后,还可以30人并排走。此外,再不能用任何其他方法,使得每队骑手是相等的。现在有一批朝圣者,能用64种方法编队行进,请告诉我,这批朝圣者共有多少人?"
当然,商人指的是可用64种方法编队的最少骑手数目。
答案:
这道难题归结为:求恰好具有64个因数的最小数,这些因数包括1及其本身。这个数为7560。7560个人可以按 "鱼贯"、"比翼"、 "品字"共64种方法,第64种方法是7560个成为一队。商人是谨慎的,他没有提到这是在怎样的道路上走。
为了求出给定的数N的质因数的数目,我们令N=a(p次方)b(q次方)c(r次方)......,这 里a,b,c是质数。这时包括1和N本身在内的因子数目将等于 (p +1)(q+1)(r+l)…,这样,在商人的难题中: 7560=2(3次方)x3(3次方)x5x7。
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