会“金蝉脱壳”的数
数论中有许多题材使人沉湎其中,往往乐而忘返。所以,这门学科自古以来,就吸引着人们去探索。通俗性与公证性是数论的两大特点。这就是说,有些题目,虽然其推证方法与导出过程极其复杂深奥,可是它的结果却是人人都能理解解、都能欣赏、都能鉴别的。
这就象磁铁一样,有一种无形的吸引力,把越来越多的业余爱好者吸引了过去。现在请看两组自然数,每组各有三个数,每个都是六位数字。把这两组数分别相加,就会发现它们的和是完全相等的。即:123789+561945+642864=242868+323787+761943这样的性质,自然算不上什么稀罕。
可是要知道它们各自的平方和也是相等的,那就是说:1237892+5619452+6428642=2428682+3237872+7619432如果您不信,就算一算吧!算过之后,你也许会伸出舌头,说一声:“妙呀!”且慢,真正的妙事还在后头呢!请把每个数的最左边一位数字抹掉,你会发现,对剩下的数来说,上述的奇妙关系仍然成立,即:23789+61945+42864=42868+23787+61943237892+619452+428642=428682+237872+619432事情真怪。让我们再抹掉每个数最左边的一位数字试试看吧!通过计算,上述性质依然保存着:3789+1945+2864=2868+3787+194337892+19452+28642=28682+37872+19432现在我们真索性一不做、二不休,继续干下去了。我们发现,尽管每次抹掉最左边的一位数字,可是这种奇妙的性质总是“原封不动”地保存下来:789+945+864=868+787+9437892+9452+8642=8682+7872+943289+45+64=68+87+43892+452+642=682+872+432直到最后剩下个位数,这一“性质”依旧“巍然不动”:9+5+4=8+7+392+52+42=82+72+32这就像“金蝉脱壳”一般,脱到最后一层,金蝉却还是货真价实的金蝉,其“个性”可谓“至死不变”矣。现在我们还是从原来的两组数出发,可是这一次却“反其道而行之”,即指把两组数的数字逐个逐个地从右边抹掉。
经过这样剧烈变动,这种性质总不见得保持下来了吧?可是,与人们预料的相反,这种性质居然还是保存了下来:12378+56194+64286=24286+32378+76194123782+561942+642862=242862+323782+761942…………直到最后抹得只剩下个位数时也是如此:1+5+6=2+3+712+52+62=22+32+72这类问题在数论上叫做“等幂和问题”,在国内外,它一直吸引着大批爱好者,但至今仍未能彻底解决。
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