趣话策地线
当人们走在广阔干坦的旷野上时,如果没有曲径与道路,自然会依据平面上两点之间直线最短的原理,选择连结始点与终点的最短路线。倘若人们是航行在一望无际的茫茫大海或者在万米高空中,也必须去寻找最短路线,这就是曲面上的“直线”,实质上是平面上直线概念的推广。我们把曲面上两点之间的短程线称为测地线。球面上的测地线即是大圆。数学上的定义是:测地曲率处处为零的曲线。
根据平面上直线的三个突出性质:
(1)方向不变,
(2)不弯曲,
(3)是两点之间的最短距离,我们可以相应地尽可能接近地推广到测地线上。曲面上任意一点总有一个切平面,它在这点的垂线是这点的法方向。曲面上曲线的每一点总有切线,过该点与切线垂直的平面叫法平面,法平面上有两个互相垂直的方向,称为主法线与从法线。对于测地线,其上每一点的主法线与曲面的法方向平行,也即测地线相对于曲面保持方向不变的性质。
曲线的弯曲程度是用曲率来衡量的,直线的曲率为零,曲线的曲率一般不等于零,但总是期望它尽可能小。我们过曲线上任一点作曲面的切平面,并将此切平面上该曲线的正投影在这一点的曲率,称为该曲线在这一点的测地曲率。如果曲面是球面,连结两点的下面曲线有大圆(该平面过球心)和小圆(该平面过此两点同一纬度的纬线圈),显然是:大圆的曲率小,小圆的曲率大。因此球面上的测地线是大圆弧。因大圆弧在相应的球面切平面上的正投影是直线,故大圆弧的测地曲率处处为零。对于一般的曲面上的曲线,只有当其测地曲率处处为零时才是测地线。在一个任意曲面上,两点之间可以用任意长的曲线来连结,因而不存在最长线,但测地线也不一定就是最短线。以球面为例,连结两点的大圆弧可分成短弧和长弧两条,只有短弧才是最短线。对于一般曲面,已能证明:两个无限接近的两点之间存在唯一的一条测地线。但对于比较复杂的曲面,问题就不简单了。在20世纪30年代,已证明:在一个凸闭曲面上至少存在三条没有自交点的封闭测地线。而在一般的紧闭曲面上,则通常认为可以存在无穷多条闭测地线。
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