高中数学指数的扩充及其运算性质达标检测题(带答案)
第二节 指数的扩充及其运算性质
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.设y1=40.9,y2=80.48,y3=(12)-1.5,则()
A.y3y2 B.y2y3 C.y1y3 D.y1y2
【解析】 y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3=(12)-1.5=21.5,
∵y=2x在定义域内为增函数,且1.81.44,
y1y2.
【答案】D
2.若142a+1143-2a,则实数a的取值范围是()
A.12,+ B.1,+ C.(-,1) D.-,12
【解析】 函数y=14x在R上为减函数,
2a+13-2a,a12.故选A.
【答案】 A
3.设函数f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线x=1对称,且当x1时,f(x)=3x-1,则有()
A.f(13)f(32)f(23) B.f(23)f(32)f(13)
C.f(23)f(13)f(32) D.f(32)f(23)f(13)
【解析】 因为f(x)的图象关于直线x=1对称,
所以f(13)=f(53),f(23)=f(43),
因为函数f(x)=3x-1在[1,+)上是增函数,
所以f(53)f(32)f(43),即f(23)f(32)f(13).故选B.
【答案】 B
4.如果函数f(x)=(1-2a)x在实数集R上是减函数,那么实数a的取值范围是()
A.(0,12) B.(12,+) C.(-,12) D.(-12,12)
【解析】 根据指数函数的概念及性质求解.
由已知得,实数a应满足1-2a01-2a1,解得a 0,
即a(0,12).故选A.
【答案】 A
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.设a0,f(x)=exa+aex(e1),是R上的偶函数,则a=________.
【解析】 依题意,对一切xR,都有f(x)=f(-x),
exa+aex=1aex+aex,
(a-1a)(ex-1ex)=0.
a-1a=0,即a2=1.
又a 0,a=1.
【答案】 1
6.下列空格中填“或=”.
(1)1.52.5________1.53.2,(2) 0.5-1.2________0.5-1.5.
【解析】 (1)考察指数函数y=1.5x.
因为1.51,所以y=1.5x在R上是 单调增函数.
又因为2.53.2,所以1.52.51.53.2.
(2)考察指数函数y=0.5x.
因为01,所以y=0.5x在R上是单调减函数.
又因为-1.2-1.5,所以0.5-1.20.5-1.5.
【答案】
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.根据下列条件确定实数x的取值范围:a1a1-2x(a0且a1).
【解析】 原不等式可以化为a2x -1a12,因为函数y=ax(a0且a1)当底数a大于1时在R上是增函数;当底数a大于0小于1时在R上是减函数,
所以当a1时,由2x-112,解得x34;
当01时,由2x-112, 解得x34.
综上可知:当a1时,x34;当01时,x34.
8.已知a0且a1,讨论f(x)=a-x2+3x+2的单调性.
【解析】 设u=-x2+3x+2=-x-322+174,
则当x32时,u是减函数,当x32时,u是增函数.
又当a1时,y=au是增函数,当01时,y=au是减函数,
所以当a1时,原函数f(x)=a-x2+3x+2在32,+上是减函数,在-,32上是增函数.
当01时,原函数f(x)=a-x 2+3x+2在32,+上是增函数,在 -,32上是减函数.
9.(10分)已知函数f(x)=3x+3-x.
(1)判断函数的奇偶性;
(2)求函数的单调增区间,并证明.
【解析】 (1)f(-x)=3-x+3- (-x)=3-x+3x=f(x)且xR,
函数f(x)=3x+3-x是偶函数.
(2)由(1)知,函数的单调区间为(-,0]及[0,+),且[0,+)是单调增区间.
现证明如下:
设0x2,则f(x1)-f(x2)=3x1+3-x1-3x2-2-x2
=3x1-3x2+13 x1-13x2=3x1-3x2+3x2-3x13x13x2
=(3x2-3x1)1-3x1+x23x1+x2.
∵0x2,3x23x1,3x1+x21,
f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),
函数在[0,+)上单调递增,
即函数的单调增区间为[0,+).
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