高中数学函数的奇偶性同步检测1(带解析新人教A版必修1)
函数的奇偶性同步检测1(带解析新人教A版必修1)
一、选择题
1.下列图象表示的函数具有奇偶性的是()
[答案] B
2.下列命题中错误的是()
①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数;
②奇函数的图象一定过原点;
③偶函数的图象与y轴一定相交;
④图象关于y轴对称的函数一定为偶函数.
A.①② B.③④
C.①④ D.②③
[答案] D
[解析] f(x)=1x为奇函数,其图象不过原点,故②错;y=x-1x1-x-1-1为偶函数,其图象与y轴不相交,故③错.
3.(2013~2014山东冠县武训中学月考试题)下列函数中是偶函数的是()
A.y=x4-3 B.y=x2 x(-3,3]
C.y=-3x D.y=2(x-1)2+1
[答案] A
4.若f(x)=ax2+bx+c(c0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx()
A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.既非奇函数又非偶函数
[答案] A
[解析] ∵f(-x)=f(x),
a(-x)2-bx+c=ax2+bx+c对xR恒成立.
b=0.
g(x)=ax3+cx.
g(-x)=-g(x).
5.已知f(x)=x7+ax5+bx-5,且f(-3)=5,则f(3)=()
A.-15 B.15
C.10 D.-10
[答案] A
[解析] 解法1:f(-3)=(-3)7+a(-3)5+(-3)b-5=-(37+a35+3b-5)-10=-f(3)-10=5,
f(3)=-15.
解法2:设g(x)=x7+ax5+bx,则g(x)为奇函数,
∵f(-3)=g(-3)-5=-g(3)-5=5,
g(3)=-10,f(3)=g(3)-5=-15.
6.(2011辽宁)若函数f(x)=x2x+1x-a为奇函数,则a=()
A.12 B.23
C.34 D.1
[答案] A
[分析] 因为已知函数为奇函数,所以其定义域应关于原点对称,由此求a.
[解析] 要使函数式有意义,则x-12,xa,而函数为奇函数,所以其定义域应关于原点对称,由此得a=12.经验证当a=12时,函数f(x)是奇函数.
二、填空题
7.若函数f(x)是奇函数,则f(1+2)+f(11-2)=________.
[答案] 0
[解析] 11-2=-(1+2),f(1+2)+f(11-2)=f(1+2)-f(1+2)=0.
8.已知f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则f(2)=________.
[答案] 6
[分析] 将x=-2代入g(x)=f(x)+9,利用f(-2)=-f(2)求f(2).
[解析] 根据已知条件,得g(-2)=f(-2)+9,又f(x)为奇函数,所以f(-2)=-f(2),则3=-f(2)+9,即f(2)=6.
9.(2013~2014河南安阳一中月考试题)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b)是偶函数,它的值域为(-,4],则该函数的解析式f(x)=________.
[答案] -2x2+4
[解析] 由于f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(ab+2a)x+2a2,
所以f(-x)=bx2-(ab+2a)x+2a2,
ab+2a=0,a=0或b=-2.
又f(x)最大值4.所以b=-2,
且f(0)=2a2=4,a=2,
f(x)=-2x2+4.
三、解答题
10.函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(-1,1)上的奇函数,且f12=25,求函数f(x)的解析式.
[解析] 因为f(x)是奇函数且定义域为(-1,1),
所以f(0)=0,即b=0.
又f12=25,所以12a1+122=25,
所以a=1,所以f(x)=x1+x2.
11.已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+x-2,求f(x),g(x)的表达式.
[解析] f(-x)+g(-x)=x2-x-2,由f(x)是偶函数,g(x)是奇函数得,f(x)-g(x)=x2-x-2
又f(x)+g(x)=x2+x-2,两式联立得:
f(x)=x2-2,g(x)=x.
12.已知f(x)是定义在R上的函数,对任意的x,yR都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)0.
(1)求证:f(0)=1.
(2)判断函数的奇偶性.
[解析] (1)令x=y=0,2f(0)=2f(0)2,
因f(0)0,则f(0)=1.
(2)令x=0,有f(y)+f(-y)=2f(0)f(y),则f(-y)=f(y),
f(x)是偶函数.
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