高中数学函数的奇偶性同步检测2(有解析新人教A版必修1)
函数的奇偶性同步检测2(有解析新人教A版必修1)
一、选择题
1.(2014全国高考卷Ⅰ)设函数f(x)、g(x)定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是()
A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数
[答案] C
[解析] 设h(x)=f(x)g(x),则h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),h(x)是奇函数,故A错,同理可知B、D错,C正确.
2.下列函数中是奇函数且在(0,1)上递增的函数是()
A.f(x)=x+1x B.f(x)=x2-1x
C.f(x)=1-x2 D.f(x)=x3
[答案] D
[解析] ∵对于A,f(-x)=(-x)+1-x=-(x+1x)=-f(x);对于D,f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),
A、D选项都是奇函数.易知f(x)=x3在(0,1)上递增.
3.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-2x,则f(x)上的表达式为()
A.y=x(x-2) B.y=x(|x|+2)
C.y=|x|(x-2) D.y=x(|x|-2)
[答案] D
[解析] 当x0时,-x0,
f(-x)=x2+2x.又f(x)是奇函数,
f(x)=-f(-x)=-x2-2x.
f(x)=x2-2x,x0,-x2-2x,x0.
f(x)=x(|x|-2).故选D.
4.已知函数f(x)和g(x)均为奇函数,h(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,+)上有最大值5,那么h(x)在(-,0)上的最小值为()
A.-5 B.-1
C.-3 D.5
[答案] B
[解析] 解法一:令F(x)=h(x)-2=af(x)+bg(x),
则F(x)为奇函数.
∵x(0,+)时,h(x)5,
x(0,+)时,F(x)=h(x)-23.
又x(-,0)时,-x(0,+),
F(-x)-F(x)3
F(x)-3.
h(x)-3+2=-1,选B.
5.函数y=f(x)对于任意x,yR,有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,当x>0时,f(x)>1,且f(3)=4,则()
A.f(x)在R上是减函数,且f(1)=3
B.f(x)在R上是增函数,且f(1)=3
C.f(x)在R上是减函数,且f(1)=2
D.f(x)在R上是增函数,且f(1)=2
[答案] D
[解析] 设任意x1,x2R,x1<x2,f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1.
∵x2-x1>0,又已知当x>0时,f(x)>1,
f(x2-x1)>1.
f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)<f(x2).
f(x)在R上是增函数.
∵f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)-1=f(1)+[f(1)+f(1)-1]-1=3f(1)-2=4,f(1)=2.
6.(2013~2014胶州三中高一模块测试)设奇函数f(x)在(0,+)上为增函数,且f(1)=0,则不等式fx-f-xx0的解集为()
A.(-1,0)(1,+) B.(-,-1)(0,1)
C.(-,-1)(1,+) D.(-1,0)(0,1)
[答案] D
[解析] 奇函数f(x)在(0,+)上为增函数,且f(1)=0,fx-f-xx=2fxx0.
由函数的图象得解集为(-1,0)(0,1).
二、填空题
7.(2013~2014上海大学附中高一期末考试)设函数f(x)=x+1x+ax为奇函数,则a=________.
[答案] -1
[解析] f(x)=1x(x+1)(x+a)为奇函数
g(x)=(x+1)(x+a)为偶函数,
故g(-1)=g(1),a=-1.
8.(2013~2014山东冠县武训中学月考试题)对于函数f(x),定义域为D=[-2,2]以下命题正确的是________(只填命题序号)
①若f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),则y=f(x)在D上为偶函数
②若f(-1)<f(0)<f(1)<f(2),则y=f(x)在D上为增函数
③若对于x[-2,2],都有f(-x)+f(x)=0,则y=f(x)在D上是奇函数
④若函数y=f(x)在D上具有单调性且f(0)>f(1)则y=f(x)在D上是递减函数
[答案] ③④
[解析] 显然①②不正确,③④正确.
9.偶函数f(x)在(0,+)上为增函数,若x10,x20,且|x1||x2|,则f(x1)与f(x2)的大小关系是______.
[答案] f(x1)f(x2)
[解析] ∵x10,-x10,
又|x1||x2|,x20,-x10,
∵f(x)在(0,+)上为增函数,f(-x1)f(x2),
又∵f(x)为偶函数,f(x1)f(x2).
此类问题利用奇偶函数的对称特征画出示意图一目了然.
三、解答题
10.设函数f(x)=ax2+1bx+c是奇函数(a、b、cZ),且f(1)=2,f(2)3,求a、b、c的值.
[解析] 由条件知f(-x)+f(x)=0,
ax2+1bx+c+ax2+1c-bx=0,
c=0又f(1)=2,a+1=2b,
∵f(2)3,4a+12b3,4a+1a+13,
解得:-12,a=0或1,
b=12或1,由于bZ,a=1,b=1,c=0.
11.已知函数f(x)=x2+ax(x0,常数aR).
(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若函数f(x)在[2,+)上为增函数,求实数a的取值范围.
[分析] (1)题需分情况讨论.(2)题用定义证明即可.
[解析] (1)当a=0时,f(x)=x2,
对任意x(-,0)(0,+),f(-x)=(-x)2=x2=f(x).
f(x)为偶函数.
当a0时,f(x)=x2+ax(a0,x0),
取x=1,得f(-1)+f(1)=20,f(-1)-f(1)=-2a0,
即f(-1)-f(1),f(-1)f(1),
函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)设2x2,则有f(x1)-f(x2)=x21+ax1-x22-ax2=x1-x2x1x2[x1x2(x1+x2)-a],要使函数f(x)在[2,+)上为增函数,则需f(x1)-f(x2)0恒成立.
∵x1-x20,x1x24,
只需使ax1x2(x1+x2)恒成立.
又∵x1+x24,
x1x2(x1+x2)16,
故a的取值范围是(-,16].
12.已知函数f(x)的定义域是(0,+),当x1时,f(x)0,且f(xy)=f(x)+f(y).
(1)求f(1);
(2)证明f(x)在定义域上是增函数;
(3)如果f(13)=-1,求满足不等式f(x)-f(x-2)2的x的取值范围.
[分析] (1)的求解是容易的;对于(2),应利用单调性定义来证明,其中应注意f(xy)=f(x)+f(y)的应用;对于(3),应利用(2)中所得的结果及f(xy)=f(x)+f(y)进行适当配凑,将所给不等式化为f [g(x)]f(a)的形式,再利用f(x)的单调性来求解.
[解析] (1)令x=y=1,得f(1)=2f(1),故f(1)=0.
(2)证明:令y=1x,得f(1)=f(x)+f(1x)=0,故f(1x)=-f(x).任取x1,x2(0,+),且x1x2,
则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(1x1)=f(x2x1).
由于x2x11,故f(x2x1)0,从而f(x2)f(x1).
f(x)在(0,+)上是增函数.
(3)由于f(13)=-1,而f(13)=-f(3),故f(3)=1.
在f(xy)=f(x)+f(y)中,令x=y=3,得
f(9)=f(3)+f(3)=2.
故所给不等式可化为f(x)-f(x-2)f(9),
f(x)f[9(x-2)],x94,
又x0x-20,294,
x的取值范围是(2,94].
规律总结:本题中的函数是抽象函数,涉及了函数在某点处的值、函数单调性的证明、不等式的求解.在本题的求解中,一个典型的方法技巧是根据所给式子f(xy)=f(x)+f(y)进行适当的赋值或配凑.这时该式及由该式推出的f(1x)=-f(x)实际上已处于公式的地位,在求解中必须依此为依据.
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