蚂蚁觅捷径
蚂蚁觅捷径问题,融知识性和趣味性于一体,有利于提高同学们的空间想象能力,培养同学们的探究意识和创新精神。现选取几例供大家参考。
例1 如图1,一只蚂蚁要从棱长为1的正方体的一个顶点A沿着表面爬到与它相距最远的另一个顶点G。蚂蚁爬行的最短路程是多少?
图1
分析解答:解答蚂蚁觅捷径问题最关键的就是确定最短爬行路线。对于本题,有的同学可能会认为最短路程是或等。这些都是错误的。
本题要求同学们展开自己的空间想象能力,把正方体沿FG、GC、BC剪开,使面BCGF与面ABFE在同一个平面内,如图2所示,你会发现最短路程就是的斜边AG之长(两点之间线段最短)。利用勾股定理易得,所以蚂蚁爬行的最短路程为。
图2
不过,路线可不止一条,你还能再找出来吗?
我们不难发现,若正方体的棱长为a,最短路程就是。当蚂蚁在正方体内时,最短路线有6条,它们都同样是。
例2 如图3,一只蚂蚁从长、宽、高分别为5,4,3的长方体的一个顶点A沿着表面爬行到与之最远的另一个顶点G,最短路程是多少?
图3
分析解答:通过解答例1给我们的启发,对此问题,将有六种方式对长方体表面进行剪开铺平求解。究竟哪条线路最短,下面逐一解答再比较。
(1)剪开FG、GC、CB铺平得。
(2)剪开HG、GC、CD铺平得。
(3)剪开EF、FG、GH铺平得。
(4)剪开FB、FG、CG铺平得。
(5)剪开FG、GH、HE铺平得。
(6)剪开DH、HG、GC铺平得。
因此最短路程为,这样的路线有两条。
由此我们知道,若长方体的长、宽、高分别为a、b、c,且时,最短路程就是。
例3 如图4,一只蚂蚁绕圆柱一周从母线AB的端点A爬到B点。若圆柱的高为,底面半径为2,求蚂蚁爬行的最短路程。
图4
分析解答:将圆柱侧面沿母线AB剪开展平得图5,则蚂蚁沿图5中的路线AB爬行是最短路线。在中,,由勾股定理得。这样的路线有两条。
图5
想一想,如果蚂蚁从图4中的A点出发,沿圆柱侧面爬到上底面的C点,你能求出最短路程吗?这样的路线有几条?
例4 如图6,一个圆锥底面半径为10,母线长为30,一只蚂蚁从A点出发沿圆锥侧面爬行一周回到A点,所走过的最短路程是多少?
图6
分析解答:把圆锥的侧面沿母线AB剪开再展平得图7,则所求最短路线就是图7中线段的长度。
图7
因为
所以。
在Rt△ABC中,已知,,
由三角函数知识或勾股定理均可得到。其路线有两条。
例5 如图8,已知圆锥底面半径为5,母线长为20。一只蚂蚁从A点出发沿圆锥侧面绕行一周到母线AB中点C处,它爬行的最短路程是多少?
图8
分析与解答:将圆锥的侧面沿母线AB剪开再展平得图9,则所求长度为图9中AC的长。
图9
在△ABC中,。
已知,根据勾股定理得。路线同样有两条。
想一想,当其条条件不变,如果ABC是锐角或钝角,你能求出最短路程吗?如果告诉圆锥底面半径和高,你还能求出最短路程吗?不妨试一试。
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