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数学分析

1.解析几何是利用代数方法来研究几何图形性质的一门学科，它包括平面解析几何和空间解析几何两部分.它的主要研究对象是直线和平面、二次曲线和二次曲面.在大学阶段，“解析几何”是以圆锥曲线和圆锥曲面为研究对象的一门学科，研究三元二次方程表示的曲线和曲面，如空间直线、平面、柱面、锥面、旋转曲面和二次曲面的方程等，研究的内容比较固定，研究方法比较成熟.高中阶段主要研究二元二次方程所表示的曲线，比如圆、椭圆、双曲线、抛物线等.

2.“解析几何思想”代表了研究曲线和曲面的一般方法和手段，即用代数为工具解决几何问题.用解析几何的思想方法来研究几何问题，思维工程可以表现为以下步骤：第一，用代数的语言来描述几何图形，例如“点”可以用“数对”表示，“曲线”可以用“方程”表示等;第二，把几何问题转化为代数问题，例如，“两直线平行”可以转化为“两直线方程组成的方程组无解”等;第三，实施代数运算，求解代数问题;第四，将代数解转化为几何结论.随着数学本身的发展，出现了代数数论、代数几何等的数学分支，而拓扑学、泛函等代数工具都可以作为研究心得曲线和曲面的工具，这些都是“解析几何思想”的发展个推广.解析几何初步的重点是帮助学生理解解析几何的基本思想，即把代数作为一种工具和手段来研究几何问题.

3.“坐标系”是解析几何思想的主要组成部分，因为建立了坐标系，就能把曲线和曲面的性质用代数来表示，从而把几何问题转化为代数问题来解决.适当地选择坐标系可以大大简化对图形性质的研究，但图形的性质不会竖着坐标系的变化而改变.我们要研究的正是那些和坐标系的选择无关的性质;或者说建立坐标系正是为了摆脱图形对坐标系的依赖，这在对数上就表现为某个线性变换群下的不变量和不变关系.

4.圆锥曲线是我们生活中最基本的图形.①圆锥曲线(面)可以帮助我们刻画一些基本的运动.例如，太阳系中，八大行星的运动轨迹都是椭圆.②光学性质和圆锥曲线是密不可分的，基本的光学性质都是由圆锥曲线体现出来的.例如，探照灯就是利用抛物面的光学性质制作而成的，它可以将点光源发出的光折射成平行光，照射到足够远的地方.几乎所有的光学仪器都是依照圆锥曲线(面)的性质制成的.③研究圆锥曲线(面)的性质时体现解析几何本质的最好载体，即便是在大学数学系的学习中，如何利用方程的系数确定二次曲线的形状，揭示其规律也是数学的经典内容.

教育分析

1.有助于学生数形结合思想的培养.

解析几何的本质是用代数的方法研究图形的几何性质，它沟通了代数与几何之间的联系，体现了数形结合的重要思想.在解析几何初步的学习中，经历将几何问题代数化、处理代数问题、分析代数结果的几何含义、解决几何问题的过程，有助于学生认识数学内容之间的内在联系，体会数形结合的思想，形成正确的数学观.

2.是培养学生运算能力的重要载体.

运算思想是数学中最重要的思想之一.解析几何的运算，往往有较强的综合性，设计相应的代数方程知识(包括消元思想、整体思想、函数思想、同解原理、韦达定理、方程的解、构造不等式、参变量代换、求解不等式)等内容，对学生计算能力要求较高.在解决解析几何问题时，要注重“数”与“形”的统一，在计算时，要结合图形自身的特点，充分挖掘图形的几何结论，这往往是解决问题的突破口和简化解题过程的有效方法.比如，涉及圆的问题时，注重运用圆的相关几何性质，对于直线与圆的位置关系要强化几何处理，淡化代数处理方法，解析几何独有的特点，最培养学生的运算能力起到了独特的作用.

课标解读

1.整体定位

“解析几何初步”研究的问题是直线和圆，及其之间的关系，还有空间直角坐标系的概念.高中阶段解析几何内容的分布，除了“解析几何初步”外，在选修系列1,2中，都延续了解析几何的内容，设计了“圆锥曲线与方程”.在选修系列4的《几何证明选讲》中，还将继续研究圆锥曲线.研究圆锥曲线有两种方法：综合几何的方法和解析几何的方法.在选修系列4的《几何证明选讲》中，运用了综合几何的方法.

“解析几何初步”是要依托直线的方程与圆的标准方程，让学生把握用代数方法解决几何问题的基本步骤，初步形成代数方法解决几何问题的能力，帮助学生理解解析几何的基本思想.

2.具体要求

(1)直线与方程

①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素;

②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式;

③能根据斜率判定两条直线平行或垂直;

④根据确定直线位置关系的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系;

⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标;

⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

(2)圆与方程

①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程;

②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系;

③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.

(3)在平面“解析几何初步”的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想.

(4)空间直角坐标系

①通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会空间直角坐标系刻画点的位置;

②通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.

《标准》中对“解析几何初步”的要求只是阶段性要求，在选修系列1,2中，还将进一步学习圆锥曲线与方程的内容.因此，对本部分内容的教学要把握好“度”，特别是对于解析几何思想的理解不能要求一步到位.

3.课标解读

(1)要注重知识的发生与发展的过程

解析几何初步的教学，要注重知识的发生与发展的过程，首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何元素及其关系，进而将几何问题代数化;处理代数问题;分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题.同时，应强调借助几何直观理解代数关系的意义，即对代数关系的几何意义的解释.让学生在这样的过程中，不断地体会“数形结合”的思想方法.

数学课程应返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，要通过学生的自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法.在解析几何初步的教学中，同样要通过观察、操作探索，确定直线与圆的几何要素，并由此探索掌握直线与圆的几种形式的方程，探索掌握一些距离公式.

比如如何在平面直角坐标系中描述直线，这是解析几何教学中遇到的第一个问题.在坐标系中，一条直线或者与x轴平行，或者与x轴相交.与x轴平行的直线的代数特征很简单，这条直线上的点的纵坐标是个常数，即y=a.除了x=a，还有什么方法可以刻画与x轴相交的直线?也就是如何用代数的方法刻画直线的斜率.

(2)在高中阶段，直线的斜率一般一般有三种表示方式

①用倾斜角的正切

这是传统教材的方式，由于倾斜角是大于等于0°小于180°，倾斜角与其正切一一对应的(90°除外);当然，也可以用倾斜角的余弦值表示直线的斜率，倾斜角与其余弦值是一一对应的，但这种表示要复杂一些，一般都选择使用倾斜角的正切.

这需要先引入0°到180°的正切函数的概念.

②用向量

内容结构

1.知识内容

2. 章节安排

本章教学时间约需18课时，具体分配如下：

§1 直线与直线的方程 8课时

§2 圆与圆的方程 5课时

§3 空间直角坐标系 3课时

小结与复习 2课时

重点分析

本章的重点有两个：一是确定直线和圆的几何要素(包括直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系的几何要素以及直线与圆的方程中各参数的几何意义);二是把几何要素代数化，用代数方程及其解刻画直线与圆及其位置关系.

教材特色

1.突出几何直观性，解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质.在这一主导思想的指导下，教材在多方面突出了代数语言的几何对象，将几何问题代数化的过程，正是认识与理解“几何→代数→几何”这一循环上升过程的体现.内容安排上重视几何直观，如在直线与直线方程、圆与圆的方程中，教材编排了探索确定直线和圆的几何要素的内容.在空间直角坐标系的建立一节中，编排了一些图片，这样的编排目的在于让学生能够充分感受几何直观，强调代数关系与图形的对应，同时感受数学与生活的内在联系.

2.加强学生对图形的认识理解和感悟能力的培养.学生对图形的把握是指可以直观地从图形中提取有价值的信息，并对它们进行合情推理.这样的编排不仅培养学生的推理能力，同时也关注几何与代数的转换能力.

3.从具体问题出发，对每一个要研究的问题几乎都是先给出一个具体问题，在具体问题的解决体验中抽象出一般的结论.从具体问题出发，明确地画出图形，感受到用代数研究的是一个真切的几何问题.从具体问题出发也有利于从特殊到一般的思维方式的培养.

4.对一些重要的数学结论，尽可能低给出几何解释.例如学习两条直线垂直，在斜率存在的条件下，一般都只从代数角度推导出即可，本教材中，我们利用射影定理给出了这一结论的几何解释，以帮助学生更直观地理解这一结论.

学法指导

1.在学习过程中，引导学生关注用解析几何解决问题的基本步骤：(1)将几何问题用代数语言表达;(2)处理数量关系;(3)分析计算结果，得出几何结论。在学习中，边体会、边理解、边小结。

2.养成画图习惯，对每一个问题，边审题、边画图。切忌单纯地列方程、解方程。

3.带着如下问题，阅读课本，：“什么是解析几何的基本思想”和“笛卡尔对解析几何的贡献”;又如“描述直线的关键因素是什么”“确定一条直线的准确位置最少需要几个条件”。

4.在本章小结阶段，绘制“知识内容表格”，学生间交流并讨论“不同的表格有什么特点”。通过这种方式，引导学生学书中自然地总结出数学基本思想和数学的主要内容，获得学习经验。

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