初中数学 化归思想方法
一位日本的数学教育家曾经提出:无论科技工作者,教育工作者,或是社会的其他人才,最重要的是要有数学的精神与思想方法,而数学知识则是第二位的。这与我国古代教育家提出的“授之以鱼,不如授之以渔”的思想实质上是一致的。
在具体的数学思想方法中,“化归思想”又是世界数学家们都十分重视的数学思想方法,因为,在解决问题的过程中,数学家往往不是直接对问题展开攻击,而是对问题进行变形、转化,直至把它化归为某个(些)已经解决的问题,或容易解决的问题。匈牙利著名数学家P•罗莎曾用以下比喻十分生动地说明了化归思想的实质。她写道:“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴,现在的任务是要烧水,你应当怎样去做?”正确的回答是:“在水壶中放上水,点燃煤气,再把水壶放到煤气灶上。”接着,罗莎又提出第二个问题:“假设所有的条件都不变,只是水壶中已有了足够的水,这时你应该怎样去做?”对此,人们往往回答说:“点燃煤气,再把壶放到煤气灶上。”但罗莎却认为这并不是最好的回答,因为,“只有物理学家才会这样做,而数学家则会倒去壶中的水,并且声称我已经把后一问题化归成先前的问题了,而先前的问题我已回答。”
“把水倒掉”——这是多么简洁的回答呀!比喻有点夸张,但它的确表明了数学家思考与解决问题的一个特点,与其他应用科学家相比,他们更善于使用化归思想。
下面还是让我们用一些例题来说明。
例1 鸡兔同笼,笼中有头50,有足140,问鸡、兔各有几只?
分析 化归的实质是不断变更问题,这里可以先对已知成分进行变形。每只鸡有2只脚,每只兔有4只脚,这是问题中不言而喻的已知成分。现在对问题中的已知成分进行变形:“一声令下”,要求每只鸡悬起一只脚(呈金鸡独立状),又要求每只兔悬起两只前脚(呈玉兔拜月状)。那么,笼中仍有头50,而脚只剩下70只了,并且,这时鸡的头数与足数相等,而兔的足数与兔的头数不等——有一头兔,就多出一只脚,现在有头50,有足70,这就说明有兔20头,有鸡30头。(我国古代算法书上就是这样解的)
以上是从变更题设条件来寻找化归方法的。下例则是从变更任务来实现化归目的。
例2 有18瓶牛奶分放在4×6=24个方格内,每格只能放一瓶,在数牛奶瓶时要求横数的瓶数为偶数,竖数的瓶数也为偶数,这件事能办到吗?
[注] 这个问题是1984年国际数学教育与计算机教育会议上,一位英国朋友在小组讨论时提出的。当时有两个不相容的答案:“这件事能办到”与“这件事不能办到”。
分析 不妨试放一下(请用铅笔在小方格内打上试放符号“○”,并给出你的答案。)
可能屡试不成——瓶太多了,很难照顾全面。因此,能否用化归思想变更题目的任务:在4×6=24个方格内打上24-18=6个不放牛奶瓶的符号(用“×”表示)。余下工作请读者自己完成,这时你的结论一定是:这件事不仅一定能办到,而且放置奶瓶的方法有多种,请你至少给出3种。
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