证明三角形全等的一般思路_名师指点

证明三角形全等的一般思路

一、当已知两个三角形中有两边对应相等时，找夹角相等（SAS）或第三边相等（SSS）。

例1. 如图1，已知：AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，且B、C、D在同一条直线上。

求证：AD＝BE

分析：要证AD＝BE

注意到AD是△ABD或△ACD的边，BE是△DEB或△BCE的边，只需证明△ABD≌△DEB或△ACD≌△BCE，显然△ABD和△DEB不全等，而在△ACD和△BCE中，AC＝BC，CD＝CE，故只需证它们的夹角∠ACD＝∠BCE即可。

而∠ACD＝∠ACE＋60°，∠BCE＝∠ACE＋60°

故△ACD≌△BCE（SAS）

二、当已知两个三角形中有两角对应相等时，找夹边对应相等（ASA）或找任一等角的对边对应相等（AAS）

例2. 如图2，已知点A、B、C、D在同一直线上，AC＝BD，AM∥CN，BM∥DN。

求证：AM＝CN

分析：要证AM＝CN

只要证△ABM≌△CDN，在这两个三角形中，由于AM∥CN，BM∥DN，可得

∠A＝∠NCD，∠ABM＝∠D

可见有两角对应相等，故只需证其夹边相等即可。

又由于AC＝BD，而

故AB＝CD

故△ABM≌△CDN（ASA）

三、当已知两个三角形中，有一边和一角对应相等时中考，可找另一角对应相等（AAS，ASA）或找夹等角的另一边对应相等（SAS）

例3. 如图3，已知：∠CAB＝∠DBA，AC＝BD，AC交BD于点O。

求证：△CAB≌DBA

分析：要证△CAB≌△DBA

在这两个三角形中，有一角对应相等（∠CAB＝∠DBA）

一边对应相等（AC＝BD）

故可找夹等角的边（AB、BA）对应相等即可（利用SAS）。

四、已知两直角三角形中，当有一边对应相等时，可找另一边对应相等或一锐角对应相等

例4. 如图4，已知AB＝AC，AD＝AG，AE⊥BG交BG的延长线于E，AF⊥CD交CD的延长线于F。

求证：AE＝AF

分析：要证AE＝AF

只需证Rt△AEB≌Rt△AFC，在这两个直角三角形中，已有AB＝AC

故只需证∠B＝∠C即可

而要证∠B＝∠C

需证△ABG≌△ACD，这显然易证（SAS）。

五、当已知图形中无现存的全等三角形时，可通过添作辅助线构成证题所需的三角形

例5. 如图5，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是中线，AE⊥BD于F，交BC于E。

求证：∠ADB＝∠CDE

分析：由于结论中的两个角分属的两个三角形不全等，故需作辅助线。注意到AE⊥BD，∠BAC＝90°，有∠1＝∠2，又AB＝AC。故可以∠2为一内角，以AC为一直角边构造一个与△ABD全等的直角三角形，为此，过C作CG⊥AC交AE的延长线于G，则△ABD≌△CAG，故∠ADB＝∠CGA。

对照结论需证∠CGA＝∠CDE

又要证△CGE≌△CDE，这可由

CG＝AD＝CD，∠ECG＝∠EBA＝∠ECD，CE＝CE而获证。

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