数学2015-2016高考二轮复习解答题综合练习
解答题是高考数学的重点题目,下面是查字典数学网整理的解答题综合练习,请考生练习。
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,设向量m=(a,c),n=(cos C,cos A).
(1)若m∥n,c=a,求角A;
(2)若mn=3bsin B,cos A=,求cos C的值.
解 (1)∵m∥n,acos A=ccos C.
由正弦定理得sin Acos A=sin Ccos C,
化简得sin 2A=sin 2C.
∵A,C(0,),2A=2C(舍)或2A+2C=,
A+C=,B=,
在Rt△ABC中,tan A==,A=.
(2)∵mn=3bcos B,acos C+ccos A=3bsin B.
由正弦定理得sin Acos C+sin Ccos A=3sin2B,
从而sin(A+C)=3sin2B.
∵A+B+C=,sin(A+C)=sin B,从而sin B=,
∵cos A=0,A(0,),A,sin A=.
∵sin Asin B,
ab,从而AB,B为锐角,
cos B=.
cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B
=-+=.
2.如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,E,F分别为BB1,AC的中点.
(1)求证:BF∥平面A1EC;
(2)求证:A1EC平面ACC1A1.
证明 (1)连接AC1并交A1C于点O,连接OE,OF,
在正三棱柱ABCA1B1C1中,四边形ACC1A1为平行四边形,所以OA=OC1.
又因为F为AC的中点,
所以OF∥CC1且OF=CC1.
因为E为BB1的中点,
所以BE∥CC1且BE=CC1,
所以BE∥OF且BE=OF,
所BEOF是平行四边形,
所以BF∥OE.
又BF平面A1EC,
OE平面A1EC,
所以BF∥平面A1EC.
(2)由(1)知BF∥OE,因为AB=CB,
F为AC的中点,
所以BFAC,所以OEAC.
又因为AA1底面ABC,而BF底面ABC,
所以AA1BF.由BF∥OE得OEAA1,
而AA1,AC平面ACC1A1,
且AA1AC=A,
所以OE平面ACC1A1.
因为OE平面A1EC,
所A1EC平面ACC1A1.
3.若两个椭圆的离心率相等,则称它们为相似椭圆.如图,在直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+=1,A1,A2分别为椭圆C1的左、右顶点.椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为相似椭圆.
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设P为椭圆C2上异于A1A2的任意一点,过P作PQx轴,垂足为Q,线段PQ交椭圆C1于点H.求证:H为△PA1A2的垂心.(垂心为三角形三条高的交点)
(1)解 由题意可知A1(-,0),A2(,0),
椭圆C1的离心率e=.
设椭圆C2的方程为+=1(a0),则b=.
因为==,所以a=2.
所以椭圆C2的方程为+=1.
(2)证明 设P(x0,y0),y00,则+=1,
从而y=12-2x.
x=x0代入+=1得+=1,
从而y2=3-=,
即y=.
因为P,H在x轴的同侧,
所以取y=,即H(x0,).
所以kA1PkA2H==
==-1,
从而A1PA2H.
又因为PHA1A2,所以H为△PA1A2的垂心.
4.如图,某园林单位准备绿化一块直径为BCABC外的地方种草,△ABC的内接正方形PQRS为一水池,其余的地方种花,若BC=a,ABC=,设△ABC的面积为S1,正方形的PQRS面积为S2.
(1)用a,表示S1和S2;
(2)当a固定,变化时,求的最小值.
解 (1)S1=asin acos =a2sin 2,
设正方形边长为x,则BQ=,RC=xtan ,
+xtan +x=a,
x==,
S2==.
(2)当a固定,变化时,=,
令sin 2=t,则=(0
利用单调性求得t=1时,=.
5.已知无穷数列{an}的各项均为正整数,Sn为数列{an}的前n项和.
(1)若数列{an}是等差数列,且对任意正整数n都有Sn3=(Sn)3成立,求数列{an}的通项公式;
(2)对任意正整数n,从集合{a1,a2,,an}中不重复地任取若干个a1,a2,,an一起恰好是1至Sn全体正整数组成的集合.
(ⅰ)求a1,a2的值;
(ⅱ)求数列{an}的通项公式.
解 (1)设无穷等差数列{an}的公差为d,因为Sn3=(Sn)3对任意正整数n都成立,所以分别取n=1,n=2时,则有:
因为数列{an}的各项均为正整数,
所以d0.可得a1=1,d=0或d=2.
当a1=1,d=0时,an=1,Sn3=(Sn)3成立;
当a1=1,d=2时,Sn=n2,所以Sn3=(Sn)3.
因此,共有2个无穷等差数列满足条件,通项公式为an=1或an=2n-1.
(2)(ⅰ)记An={1,2,,Sn},显然a1=S1=1.
对于S2=a1+a2=1+a2,有A2={1,2,,Sn}={1,a2,1+a2,|1-a2|}={1,2,3,4},
故1+a2=4,所以a2=3.
(ⅱ)由题意可知,集合{a1,a2,,an}按上述规则,共产生Sn个正整数.
而集合{a1,a2,,an,an+1}按上述规则产生的Sn+1个正整数中,除1,2,,Sn这Sn个正整数外,还有an-1,an+1+i,|an+1-i|(i=1,2,,Sn),共2Sn+1个数.
所以,Sn+1=Sn+(2Sn+1)=3Sn+1.
又Sn+1+=3,
所以Sn=3n-1-=3n-.
当n2时,an=Sn-Sn-1
=3n--=3n-1.
而a1=1也满足an=3n-1.
所以,数列{an}的通项公式是an=3n-1.
6.已知函数f(x)=aln x-(a为常数).
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+2y-5=0垂直,求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)当x1时,f(x)2x-3恒成立,求a的取值范围.
解 (1)函数f(x)的定义域为{x|x0},f(x)=.
又曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+2y-5=0垂直,
所以f(1)=a+1=2,即a=1.
(2)由f(x)=(x0),当a0时,
f(x)0恒成立,
所以f(x)的单调增区间为(0,+).
当a0时,
由f(x)0,
得0
所以f(x)的单调增区间为;
由f(x)0,得x-,
所以f(x)的单调减区间为.
(3)设g(x)=aln x--2x+3,x1,+),
则g(x)=+-2=.
令h(x)=-2x2+ax+1,考虑到h(0)=10,
当a1时,
h(x)=-2x2+ax+1的对称轴x=1,
h(x)在[1,+)上是减函数,h(x)h(1)=a-10,
所以g(x)0,g(x)在[1,+)上是减函数,
所以g(x)g(1)=0,
即f(x)2x2-3恒成立.
a1时,令h(x)=-2x2+ax+1=0,
得x1=1,x2=0,
当x[1,x1)时,h(x)0,
即g(x)0,
g(x)在[1,x1)上是增函数;
当x(x1,+)时,h(x)0,
即g(x)0,
g(x)在(x1,+)上是减函数.
所以0=g(1)
即f(x1)2x1-3,不满足题意.
综上a的取值范围为a1.
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