2016年高考数学考点:椭圆的最值问题
一、已知椭圆的方程,求线段或线段和的最值
例1. 已知椭圆上的一动点P和一定点,试求线段|PA|的最小值。
分析:如图1所示,P为椭圆上的点,则点P的坐标有一定的范围限制,因此,求线段|PA|的最小值时要对a进行讨论。
解:设点P(x,y)是椭圆上的一点,则由两点公式可知
当,即时,x取,
当,即时,x取,
当,即时,,
点评:这里字母a是常量,但是不知道它的具体值,因此要加以讨论,许多同学会忽视这一情况。
例2. 已知椭圆的左焦点为F,椭圆内有一个定点A(4,1),P为椭圆上的任意一点,试求的最大值。
分析:如图2所示,设右焦点为C,式子|PF|+|PA|涉及到了焦半径|PF|,所以可利用椭圆的定义,将转化为,然后应用三角形中两边之和大于第三边这个性质求得最大值。
解:设椭圆的右焦点为C则(当点P在线段AC的延长线上时取“=”),所以
=。
说明:由上述求解过程可知,椭圆上任一点P到椭圆内一定点A及一焦点F的距离之和存在最大值,这个最大值就等于长轴长加上这个定点到另一焦点的距离。
二. 利用椭圆的定义或几何性质求最值(取值范围)
例3. 已知椭圆的长轴的两端点分别是A、B,若椭圆上有一点P,使得∠APB=120°,求椭圆的离心率e的取值范围。
分析:要求离心率e的取值范围,根据条件建立等式,再根据椭圆上点的坐标的范围建立不等式求解。
解:由题设知设点,则有
化简得
由椭圆的几何性质知利用得,
解得
点评:当点P在椭圆上运动时,∠APB的大小也随之变化,且当点P在向短轴端点靠近时,∠APB逐渐增长,当点P为椭圆短轴端点时,∠APB达到最大。因此,只要长轴关于短轴端点的张角大于或等于120°,椭圆上就存在一点P,使∠ABP=120°。
练一练:直线总有公共点,试求m的取值范围。
答案:
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