圆与方程的考察重要是牢记相关方程公式，以下是高一数学圆与方程单元同步检测题，请大家参考。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知两圆的方程是x2+y2=1和x2+y2-6x-8y+9=0，那么这两个圆的位置关系是()

A.相离 B.相交

C.外切 D.内切

解析 将圆x2+y2-6x-8y+9=0，

化为标准方程得(x-3)2+(y-4)2=16.

两圆的圆心距0-32+0-42=5，

又r1+r2=5，两圆外切.

答案 C

2.过点(2,1)的直线中，被圆x2+y2-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程为()

A.3x-y-5=0 B.3x+y-7=0

C.x+3y-5=0 D.x-3y+1=0

解析 依题意知所求直线通过圆心(1，-2)，由直线的两点式方程，得y+21+2=x-12-1，即3x-y-5=0.

答案 A

3.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切，则a的值为()

A.1，-1 B.2，-2

C.1 D.-1

解析 圆x2+y2-2x=0的圆心C(1,0)，半径为1，依题意得|1+a+0+1|1+a2+1=1，即|a+2|=a+12+1，平方整理得a=-1.

答案 D

4.经过圆x2+y2=10上一点M(2，6)的切线方程是()

A.x+6y-10=0 B.6x-2y+10=0

C.x-6y+10=0 D.2x+6y-10=0

解析 ∵点M(2，6)在圆x2+y2=10上，kOM=62，

过点M的切线的斜率为k=-63.

故切线方程为y-6=-63(x-2).

即2x+6y-10=0.

答案 D

5.垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是()

A.x+y-2=0 B.x+y+1=0

C.x+y-1=0 D.x+y+2=0

解析 由题意可设所求的直线方程为y=-x+k，则由|k|2=1，得k=2.由切点在第一象限知，k=2.故所求的直线方程y=-x+2，即x+y-2=0.

答案 A

6.关于空间直角坐标系O-xyz中的一点P(1,2,3)有下列说法：

①点P到坐标原点的距离为13;

②OP的中点坐标为12，1，32;

③与点P关于x轴对称的点的坐标为(-1，-2，-3);

④与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，-3);

⑤与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2，-3).

其中正确的个数是()

A.2 B.3

C.4 D.5

解析 点P到坐标原点的距离为12+22+32=14，故①错;②正确;点P关于x轴对称的点的坐标为(1，-2，-3)，故③错;点P关于坐标原点对称的点的坐标为(-1，-2，-3)，故④错;⑤正确.

答案 A

7.已知点M(a，b)在圆O：x2+y2=1处，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是()

A.相切 B.相交

C.相离 D.不确定

解析 ∵点M(a，b)在圆x2+y2=1外，a2+b21，又圆心(0,0)到直线ax+by=1的距离d=1a2+b21=r，直线与圆相交.

答案 B

8.与圆O1：x2+y2+4x-4y+7=0和圆O2：x2+y2-4x-10y+13=0都相切的直线条数是()

A.4 B.3

C.2 D.1

解析 两圆的方程配方得，O1：(x+2)2+(y-2)2=1，

O2：(x-2)2+(y-5)2=16，

圆心O1(-2,2)，O2(2,5)，半径r1=1，r2=4，

|O1O2|=2+22+5-22=5，r1+r2=5.

|O1O2|=r1+r2，两圆外切，故有3条公切线.

答案 B

9.直线l将圆x2+y2-2x-4y=0平分，且与直线x+2y=0垂直，则直线l的方程是()

A.2x-y=0 B.2x-y-2=0

C.x+2y-3=0 D.x-2y+3=0

解析 依题意知直线l过圆心(1,2)，斜率k=2，

l的方程为y-2=2(x-1)，即2x-y=0.

答案 A

10.圆x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0的圆心在直线x+y-4=0上，那么圆的面积为()

A.9

C.2 D.由m的值而定

解析 ∵x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0，

[x-(2m+1)]2+(y-m)2=m2.

圆心(2m+1，m)，半径r=|m|.

依题意知2m+1+m-4=0，m=1.

圆的面积S=12=.

答案 B

11.当点P在圆x2+y2=1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是()

A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1

C.(2x-3)2+4y2=1 D.(2x+3)2+4y2=1

解析 设P(x1，y1)，Q(3,0)，设线段PQ中点M的坐标为(x，y)，

则x=x1+32，y=y12，x1=2x-3，y1=2y.

又点P(x1，y1)在圆x2+y2=1上，

(2x-3)2+4y2=1.

故线段PQ中点的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.

答案 C

12.曲线y=1+4-x2与直线y=k(x-2)+4有两个交点，则实数k的取值范围是()

A.(0，512) B.(512，+)

C.(13，34] D.(512，34]

解析 如图所示，曲线y=1+4-x2

变形为x2+(y-1)2=4(y1)，

直线y=k(x-2)+4过定点(2,4)，

当直线l与半圆相切时，有

|-2k+4-1|k2+1=2，解得k=512.

当直线l过点(-2,1)时，k=34.

因此，k的取值范围是512

答案 D

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)

13.圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离最小值为____________.

解析 圆心(0,0)到直线3x+4y-25=0的距离为5，

所求的最小值为4.

答案 4

14.圆心为(1,1)且与直线x+y=4相切的圆的方程是________.

解析 r=|1+1-4|2=2，所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.

答案 (x-1)2+(y-1)2=2

15.方程x2+y2+2ax-2ay=0表示的圆，①关于直线y=x对称;②关于直线x+y=0对称;③其圆心在x轴上，且过原点;④其圆心在y轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________.

解析 已知方程配方，得(x+a)2+(y-a)2=2a2(a0)，圆心坐标为(-a，a)，它在直线x+y=0上，已知圆关于直线x+y=0对称.故②正确.

答案 ②

16.直线x-2y-3=0与圆(x-2)2+(y+3)2=9相交于A，B两点，则△AOB(O为坐标原点)的面积为________.

解析 圆心坐标(2，-3)，半径r=3，圆心到直线x-2y-3=0的距离d=5，弦长|AB|=2r2-d2=4.又原点(0,0)到AB所在直线的距离h=35，所以△AOB的面积为S=12435=655.

答案 655

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)自A(4,0)引圆x2+y2=4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程.

解 解法1：连接OP，则OPBC，设P(x，y)，当x0时，kOPkAP=-1，即yxyx-4=-1.

即x2+y2-4x=0.①

当x=0时，P点坐标为(0,0)是方程①的解，

BC中点P的轨迹方程为x2+y2-4x=0(在已知圆内).

解法2：由解法1知OPAP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM|=12|OA|=2，由圆的定义，知P点轨迹方程是以M(2,0)为圆心，2为半径的圆.

故所求的轨迹方程为(x-2)2+y2=4(在已知圆内).

18.(12分)已知圆M：x2+y2-2mx+4y+m2-1=0与圆N：x2+y2+2x+2y-2=0相交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标.

解 由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为M(m，-2)，N(-1，-1).

两圆的方程相减得直线AB的方程为

2(m+1)x-2y-m2-1=0.

∵A，B两点平分圆N的圆周，

AB为圆N的直径，AB过点N(-1，-1).

2(m+1)(-1)-2(-1)-m2-1=0.

解得m=-1.

故圆M的圆心M(-1，-2).

19.(12分)点M在圆心为C1的方程x2+y2+6x-2y+1=0上，点N在圆心为C2的方程x2+y2+2x+4y+1=0上，求|MN|的最大值.

解 把圆的方程都化成标准形式，得

(x+3)2+(y-1)2=9，

(x+1)2+(y+2)2=4.

如图所示，C1的坐标是(-3,1)，半径长是3;C2的坐标是(-1，-2)，半径长是2.

所以，|C1C2|=-3+12+1+22=13.

因此，|MN|的最大值是13+5.

20.(12分)已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0，从圆C外一点P向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求|PM|的最小值.

解 如图：PM为圆C的切线，则CMPM，△PMC为直角三角形，|PM|2=|PC|2-|MC|2.

设P(x，y)，C(-1,2)，|MC|=2.

∵|PM|=|PO|，

x2+y2=(x+1)2+(y-2)2-2.

化简得点P的轨迹方程为2x-4y+3=0.

求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，即求原点O到直线2x-4y+3=0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM|最小值为3510.

21.(12分)已知圆C：x2+y2-4x-14y+45=0及点Q(-2，3)，

(1)若点P(m，m+1)在圆C上，求PQ的斜率;

(2)若点M是圆C上任意一点，求|MQ|的最大值、最小值;

(3)若N(a，b)满足关系：a2+b2-4a-14b+45=0，求出t=b-3a+2的最大值.

解 圆C：x2+y2-4x-14y+45=0可化为(x-2)2+(y-7)2=8.

(1)点P(m，m+1)在圆C上，

所以m2+(m+1)2-4m-14(m+1)+45=0，解得m=4，

故点P(4,5).

所以PQ的斜率是kPQ=5-34+2=13;

(2)如图，点M是圆C上任意一点，Q(-2,3)在圆外，

所以|MQ|的最大值、最小值分别是

|QC|+r，|QC|-r.

易求|QC|=42，r=22，

所以|MQ|max=62，|MQ|min=22.

(3)点N在圆C：x2+y2-4x-14y+45=0上，

t=b-3a+2表示的是定点Q(-2,3)与圆上的动点N连线l的斜率.

设l的方程为y-3=k(x+2)，

即kx-y+2k+3=0.

当直线和圆相切时，d=r，

即|2k-7+2k+3|k2+1=22，解得k=23.

所以t=b-3a+2的最大值为2+3.

22.(12分)已知曲线C：x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0，其中k-1.

(1)求证：曲线C表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上;

(2)证明曲线C过定点;

(3)若曲线C与x轴相切，求k的值.

解 (1)证明：原方程可化为(x+k)2+(y+2k+5)2=5(k+1)2.

∵k-1，5(k+1)20.

故方程表示圆心为(-k，-2k-5)，半径为5|k+1|的圆.

设圆心的坐标为(x，y)，则x=-k，y=-2k-5.

消去k，得2x-y-5=0.

这些圆的圆心都在直线2x-y-5=0上.

(2)证明：将原方程变形为

(2x+4y+10)k+(x2+y2+10y+20)=0，

∵上式对于任意k-1恒成立，

2x+4y+10=0，x2+y2+10y+20=0.

解得x=1，y=-3.

曲线C过定点(1，-3).

(3)∵圆C与x轴相切，

圆心(-k，-2k-5)到x轴的距离等于半径.

即|-2k-5|=5|k+1|.

两边平方，得(2k+5)2=5(k+1)2.

k=535.

高一数学圆与方程单元同步检测题就为大家分享到这里，希望对大家有帮助。

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