圆的方程
一. 教学内容:
圆的方程以及圆的有关性质
二、学习目标
1、通过图片欣赏探索确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中掌握圆的标准方程与一般方程。能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系;会利用直线方程和圆的方程解决简单的位置关系问题和度量问题;
2、经历具体图形探索,确定圆的几何要素的过程;经历用待定系数法求圆的方程的过程;在学习过程中体会用代数方法处理几何问题的思想;
3、体会转化、数形结合等数学思想和方法。
三、知识要点
1、圆的定义
①运动的观念:平面内一条线段绕着一个端点旋转,另一个端点形成的轨迹;
其中,静止的端点叫做圆心,线段的长等于半径。
②集合的观念:平面内与定点的距离等于定长的点的集合。
其中定点叫做圆心,定长等于半径。
2、圆的方程
①标准形式:圆心为(a,b),半径为r的圆的方程的标准形式是
( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r 2.
特别地,当圆心在原点的时候,其方程为 x 2 + y 2 = r 2.
②一般形式:x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0. (*)
上式可变形为:(x+)2+(y+)2=.
说明:(1)圆的一般方程体现了圆的方程的代数特点:
a. x2、y2项的系数相等且不为零.
b. 没有xy项.
(2)若D2 + E2- 4F > 0时,(*)式表示的是以为圆心,以为半径的圆;若D2 + E2- 4F = 0时,(*)式表示的是一个点;D2 + E2- 4F < 0时,(*)式不表示任何图形。
3、二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件
①A=C≠0,②B=0,③D2+E2-4AF>0.
4、点与圆的位置关系
设圆心为M,半径为R,对于点P
①|PM|=R:点P在圆上;
②|PM|
③|PM|>R:点P在圆外。
5、求曲线方程的两种方法
①直接法:在不明确曲线是何种曲线的情形下,根据条件,寻找或构造等量关系,列等式,代坐标,得方程。
一般步骤:建系——设点——列等式——代坐标——化简整理
②待定系数法:在明确曲线是何种曲线的情形下,可设出该类型曲线的一般情形,再由条件求出其中的参数即可。
四、点与典型例题
考点一 对圆的方程的讨论
例1 设方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0。(1)当m为何值时,该方程表示一个圆;(2)当m为何值时,该方程表示的圆的半径最大;(3)该方程表示圆时,求圆心的轨迹方程
解:①由二元二次方程表示圆的条件可知:D2 + E2- 4F > 0,代入可解得:
②由二元二次方程表示圆的条件可知:该圆的半径为,当时有最大值
③由二元二次方程表示圆的条件可知:该圆的圆心坐标为
故得圆心所在曲线方程为:
说明:对含有参变量的圆的方程的讨论是本课的一个重要题型,一定要结合二元二次方程表示圆的条件进行研究。
考点二 求圆的方程
例2 设A(-c,0)、B(c,0)(c>0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0),求P点的轨迹.
解:设动点P的坐标为(x,y),由=a(a>0)得=a,化简,得
(1-a2)x2+2c(1+a2)x+c2(1-a2)+(1-a2)y2=0.
当a=1时,方程化为x=0.
当a≠1时,方程化为(x-c)2+y2=()2.
所以当a=1时,点P的轨迹为y轴;
当a≠1时,点P的轨迹是以点(c,0)为圆心,||为半径的圆.
说明:本题采用了直接求法,即根据题给条件,寻找等量关系,然后代入坐标得到方程。主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识,考查运用解析几何的方法解决问题的能力,对代数式的运算化简能力有较高要求. 同时也考查了分类讨论这一数学思想.
例3 已知圆心在x轴上,半径是5,且以A(5,4)为中点的弦长是2,求这个圆的方程。
解:设圆心坐标为B(a,0),以A为中点的弦的一个端点为C,则圆的方程为
(x-a)2+y2=25
由于|AB|2+|AC|2=|BC|2
从而,(a-5)2+16+5=25得a=7或a=3.
故这个圆的方程为
(x-7)2+y2=25或(x-3)2+y2=25
说明:本题采用的是待定系数法,即设出圆的方程,其中含有一个参数a,根据题给条件求出即可。
考点三 对圆系方程的研究
例4 已知圆C经过圆的交点且经过原点,求圆C的方程。
解:设圆C的方程为,
因其过原点,故代入原点坐标得:,即圆C的方程为
说明:常见的圆系方程有:
①过定直线
两交点的圆系:
②过两定圆
交点的圆系:
五. 本讲涉及的主要数学思想方法
本讲涉及的主要数学思想方法是解析法,用代数的方法研究圆的有关性质,主要过程是建系——设点——列等式——代入坐标,要注意自变量的取值范围的讨论(如例1的第3小题)。
另外,平面解析几何问题的研究也蕴涵着丰富的数形结合的思想,要注意结合条件画图,结合图形分析几何元素间的联系以寻找变量之间的联系,从而迅速发现解题思路。
【模拟试题】(答题时间:60分钟)
一、选择题
1. (2008上海)如图,在平面直角坐标系中,是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域(含边界),A、B、C、D是该圆的四等分点.若点、点满足且,则称P优于.如果中的点满足:不存在中的其它点优于Q,那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧( )
A. B. C. D.
2. (2008山东)已知圆的方程为. 设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
3. (2008湖北)过点作圆的弦,其中弦长为整数的共有( )
A. 16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条
*4. 点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则a的取值范围是( )
A. |a|<1 B. a<C. |a|<D. |a|<
*5. 已知圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),下列结论错误的是( )
A. 当a2+b2=r2时,圆必过原点
B. 当a=r时,圆与y轴相切
C. 当b=r时,圆与x轴相切
D. 当b
*6. 方程|x|-1=所表示的曲线是 ( )
A、一个圆 B、两个圆 C、半个圆 D、两个半圆
7. A=C≠0,B=0是方程Ax2+Bx+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的( )
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
二、填空题
8. (2008广东)经过圆的圆心,且与直线垂直的直线方程是 .
9. (2008湖南)将圆沿x轴正向平移1个单位后得到圆C,则圆C的方程是________,若过点(3,0)的直线和圆C相切,则直线的斜率为_____________.
三、解答题
10. (2008重庆卷15题改编)已知圆C: (a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆C上,求a的值。
*11. 已知三角形三边所在直线的方程为x-y+2=0, x-3y+4=0, x+y-4=0,求三角形外接圆的方程。
12. 一圆经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距的和为2,求此圆的方程。
**13. (2008江苏)在平面直角坐标系xOy中,设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C.求:
(Ⅰ)实数b 的取值范围;
(Ⅱ)圆C 的方程;
(Ⅲ)圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)?请证明你的结论.
【试题答案】
一、选择题:DBCDD BB
4、提示:点P在圆(x-1)2+y2=1的内部(5a+1-1)2+(12a)2<1|a|<.
答案:D
5、提示:已知圆的圆心坐标为(a,b),半径为r,当b
6、提示:两边平方后得
二、填空题
8、
9、,
三、解答题
10、由题意知,圆C关于直线l:x-y+2=0对称,即圆心C在直线l:x-y+2=0上,从而解得a=-2。
11、分别联立三条直线方程,可求得三角形顶点坐标A(-1,1)、B(1,3)、C(2,2)。由圆的有关性质可知:圆心为AB、AC中垂线的交点,故可求得圆心坐标为:,恰为AC中点,从而这是一个直角三角形,其半径为线段AC长的一半,为,故三角形外接圆的方程为:
12、设圆的方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0.
该圆过A(4,2):20+4D+2E+F=0……………………(1)
过B(-1,3):10-D+3E+F=0……………………………(2)
又该圆在坐标轴上的四个截距的和为2,故令x=0:y2+Ey+F=0,令y=0:x2+Dx+F=0,
由方程根与系数的关系:x1+x2+y1+y2=-E+(-D)=2,从而得到D+E=-2………(3)
联立方程(1)(2)(3)可解得:D=-2,E=0,F=-12,故圆的方程为:
x2 + y2 -2x-12 = 0.
13、【解析】本小题主要考查二次函数的图象与性质、圆的方程的求法.
(Ⅰ)令=0,得抛物线与轴的交点是(0,b);
令,由题意b≠0 且Δ>0,解得b<1 且b≠0.
(Ⅱ)设所求圆的一般方程为
令=0 得这与=0 是同一个方程,故D=2,F=.
令=0 得=0,此方程有一个根为b,代入得出E=―b―1.
所以圆C 的方程为.
(Ⅲ)圆C 必过定点(0,1)和(-2,1).
证明如下:将(0,1)代入圆C 的方程,得左边=0+1+2×0-(b+1)+b=0,右边=0,
所以圆C 必过定点(0,1).
同理可证圆C 必过定点(-2,1).
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