完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法‥‥‥，在第n类办法中有mn种不同的方法，以下是分类加法计数原理专题检测，请考生及时练习。

一、选择题

1.如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有()

A.72种 B.48种

C.24种 D.12种

解析 先分两类：一是四种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，

D有1种涂法，共有4321=24种涂法;二是用三种颜色，这时A，B，C的涂法有432=24种，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法.故不同的涂法共有24+242=72种.

答案 A

2.如图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有().

A.400种 B.460种

C.480种 D.496种

解析 从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A同色1种，D、A不同色3种，不同涂法有654(1+3)=480(种)，故选C.

答案 C

3.某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展，某校高一新生中的五名同学打算参加春晖文学社、舞者轮滑俱乐部、篮球之家、围棋苑四个社团.若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团.且同学甲不参加围棋苑，则不同的参加方法的种数为().

A.72 B.108 C.180 D.216

解析 设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加围棋苑，有下列两种情况：

(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加围棋苑，有C种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中，有CA种方法， 故共有CCA种参加方法;

(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加围棋苑，有C种方法，甲与丁、戊分配到其他三个社团中有A种方法，这时共有CA种参加方法;

综合(1)(2)，共有CCA+CA=180种参加方法.

答案 C

.有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有()

A.8种 B.9种

C.10种 D.11种

解析 分四步完成，共有3311=9种.

答案 B

.从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有().

A.300种 B.240种 C.144种 D.96种

解析 甲、乙两人不去巴黎游览情况较多，采用排除法，符合条件的选择方案有CA-CA=240.

答案 B

.4位同学从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法有().

A.12种 B.24种 C.30种 D.36种

解析 分三步，第一步先从4位同学中选2人选修课程甲.共有C种不同选法，第二步给第3位同学选课程，有2种选法.第三步给第4位同学选课程，也有2种不同选法.故共有C22=24(种).

答案 B

二、填空题

.将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设Ni(i=1,2,3)表示第i行中最大的数，则满足N1

解析 由已知数字6一定在第三行，第三行的排法种数为AA=60;剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二

行的排法种数为AA=4，由分步计数原理满足条件的排列个数是240.

答案 240

.数字1,2,3，，9这九个数字填写在如图的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每列从上到下也依次增大，当数字4固定在中心位置时，则所有填写空格的方法共有________种.

解析 必有1、4、9在主对角线上，2、3只有两种不同的填法，对于它们的每一种填法，5只有两种填法.对于5的每一种填法，6、7、8只有3种不同的填法，由分步计数原理知共有223=12种填法.

答案 12.如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做好数，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，好数共有________个.

解析 当相同的数字不是1时，有C个;当相同的数字是1时，共有CC个，由分类加法计数原理得共有好数C+CC=12个.

答案 12

给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：

由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有__________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有________种.(结果用数值表示)

三、解答题

.如图所示三组平行线分别有m、n、k条，在此图形中

(1)共有多少个三角形?

(2)共有多少个平行四边形?

解 (1)每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一对应的，由分步计数原理知共可构成mnk个三角形.

(2)每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的，由分类和分步计数原理知共可构成CC+CC+CC个平行四边形.

.设集合M={-3，-2，-1,0,1,2}，P(a，b)是坐标平面上的点，a，bM.

(1)P可以表示多少个平面上的不同的点?

(2)P可以表示多少个第二象限内的点?

(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点?

解 (1)分两步，第一步确定横坐标有6种，第二步确定纵坐标有6种，经检验36个点均不相同，由分步乘法计数原理得N=66=36(个).

(2)分两步，第一步确定横坐标有3种，第二步确定纵坐标有2种，根据分步乘法计数原理得N=32=6个.

(3)分两步，第一步确定横坐标有6种，第二步确定纵坐标有5种，根据分步乘法计数原理得N=65=30个..现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法?

可将星期一、二、三、四、五分给5个人，相邻的数字不分给同一个人.

星期一：可分给5人中的任何一人，有5种分法;

星期二：可分给剩余4人中的任何一人，有4种分法;星期三：可分给除去分到星期二的剩余4人中的任何一人，有4种分法;同理星期四和星期五都有4种不同的分法，由分步计数原理共有54444=1 280种不同的排法.

.已知集合A={a1，a2，a3，a4}，B={0,1,2,3}，f是从A到B的映射.

(1)若B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个?

(2)若B中的元素0必无原象，这样的f有多少个?

(3)若f满足f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)=4，这样的f又有多少个?

(1)显然对应是一一对应的，即为a1找象有4种方法，a2找象有3种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，所以不同的f共有4321=24(个).

(2)0必无原象，1,2,3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法.所以不同的f共有34=81(个).

(3)分为如下四类：

第一类，A中每一元素都与1对应，有1种方法;

第二类，A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有CC=12种方法;

第三类，A中有两个元素对应2，另两个元素对应0，有CC=6种方法;

第四类，A中有一个元素对应1，一个元素对应3，另两个元素与0对应，有CC=12种方法.

所以不同的f共有1+12+6+12=31(个).

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