极限
极限是微积分中的基础概念,它指的是变量在一定的变化过程中,从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值(极限值)。极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。在现代的数学分析教科书中,几乎所有基本概念(连续、微分、积分)都是建立在极限概念的基础之上。
设 为一无穷实数数列的集合。如果存在实数a,对于任意正数 (不论它多么小),总存在正整数N,使得当n>N时,均有不等式 成立,那么就称常数a是数列 的极限,或称数列 收敛于a。记作 或 。 如果上述条件不成立,就说数列发散。
还有一种定义:任给,若在区间 外数列 中的项至多只有有限个,则称数列 收敛于极限a。换句话说,如果存在某 ,使数列 中有无穷多个项落在 之外,则 一定不以a为极限。
对定义的理解
1、ε的任意性 定义中ε的作用在于衡量数列通项 与常数a的接近程度。ε越小,表示接近得越好;而正数ε可以任意地小,说明 与常数a可以接近到任何程度。但是,尽管ε有其任意性,但一经给出,就被暂时地确定下来,以便靠它来求出N。又因为ε是任意小的正数,所以ε/2 、3ε 、ε2 等也都是任意小的正数,因此可用它们代替ε。同时,正由于ε是任意小的正数,我们可以限定ε小于一个确定的正数。另外,定义中的
也可改写成 。
2、N的相应性 一般来说,N随ε的变小而变大,因此常把N写作N(ε),以强调N对ε的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的(比如若n>N使 成立,那么显然n>N+1、n>2N等也使 成立)。重要的是N的存在性,而不在于其值的大小。另外,定义中的n>N也可改写成n≥N。
3、从几何意义上看,“当n>N时,均有不等式 成立”意味着:所有下标大于N的 都落在(a-ε,a+ε)内;而在(a-ε,a+ε)之外,数列 中的项至多只有N个(有限个)。
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