正难则反，巧用反证法证明不等式_知识点总结

正难则反，巧用反证法证明不等式

　　反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。反证法不仅在几何中有着广泛的应用，而且在代数中也经常出现。用反证法证明不等式就是最好的应用。

　　要证明不等式 A>B，先假设 A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设。要证明的不等式中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效。

　　例 1. 设 a ，b ，c ，d 均为正数，求证：下列三个不等式①a +b

　　( a + b )( c + d ) < ab + cd ，③( a + b ) cd < ab ( c + d ) 中至少有一个不正确。

　　证明：假设不等式①、②、③都成立，因为 a，b，c，d 都是正数，所以由不等式①、 ②得，( a + b ) 2 < ( a + b )( c + d ) < ab + cd 。

　　由不等式③得，( a + b ) cd < ab ( c + d ) ≤ ( a 2+ b) 2 ·( c + d ) 因为a + b > 0 ，所以4cd < ( a + b )( c + d )

　　综合不等式②，得4 cd < ab + cd ，3cd < ab ，即cd < 13 ab

　　由不等式④，得( a + b ) 2 < ab + cd < 43 ab ，即a 2 + b 2 < − 23 ab ，显然矛盾。

　∴不等式①、②、③中至少有一个不正确。

　　例 2. 已知a + b + c > 0 ， ab + bc + ca > 0 ， abc > 0，求证：a > 0 ， b > 0 ，c > 0 。

　　证明：由abc > 0 知a ≠0，假设a < 0 ，则bc < 0

　　又因为a + b + c > 0 ，所以b + c > −a > 0 ，即a (b + c) < 0

　　从而ab + bc + ca = a (b + c ) + bc < 0 ，与已知矛盾。

　　∴假设不成立，从而a > 0

　　同理，可证b > 0 ，c > 0 。

　　例 3. 若 p > 0 ，q > 0 ，p 3 + q 3 = 2 ，求证： p + q ≤ 2 。

　　证明：假设 p + q > 2 ，则( p + q)3 > 8 ，即 p 3 + q 3 + 3 pq ( p + q) > 8 。

　　因为 p 3 + q 3 = 2 所以 pq( p + q) > 2

　　故 pq ( p + q ) > 2 = p 3 + q 3 = ( p + q )( p 2 − pq + q 2 )

　　又 p > 0 ，q > 0 ，即 p + q > 0

　　∴ pq > p 2 − pq + q 2 ，即( p − q)2 < 0 ，不成立。

　　故假设不成立，即 p + q ≤ 2 。大于 1。

　　例 3. 若 p > 0 ，q > 0 ，p 3 + q 3 = 2 ，求证： p + q ≤ 2 。

　　证明：假设 p + q > 2 ，则( p + q)3 > 8 ，即 p 3 + q 3 + 3 pq ( p + q) > 8 。

　　因为 p 3 + q 3 = 2 所以 pq( p + q) > 2

　　故 pq ( p + q ) > 2 = p 3 + q 3 = ( p + q )( p 2 − pq + q 2 )

　　又 p > 0 ，q > 0 ，即 p + q > 0

　　∴ pq > p 2 − pq + q 2 ，即( p − q)2 < 0 ，不成立。

　　故假设不成立，即 p + q ≤ 2 。

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