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一 、填空题

1.在△ABC中，D是边AC的中点，点E在线段BD上，且满足BE=13BD，延长AE交BC于点F，则BFFC的值为________.

解析 如图，过B作BG∥AC交AF的延长线于点G，则BGAD=BEED=12，BFFC=BGAC=BG2AD=14.

答案 14

2.如图所示， 在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC=3，DE=2，DF=1，则AB的长为________.

解析 ∵DE∥BC，EF∥CD，又BC=3，DE=2，DF=1，AFFD=AEEC=ADDB=2.AF=2，AD=3，BD=32，则AB的长为92.

答案 92

3.如图所示，直角三角形ABC中，B=90，AB=4，以BC为直径的圆交边AC于点D， AD=2，则C的大小为________.

解析 连接BD，∵BC为直径，BDC=90.ABD=BCD，在直角△ABD中，∵AD=2，AB=4，

ABD=30，故ABD=30.

答案 30

4.如图所示，在△ABC中，C=90，A=60，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BDCD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________.

解析 由已知BC=ABsin60=103，由弦切角定理BCD=A=60，所以BD=BCsin60=15，CD=BCcos60=53，由切割线定理CD2=DEBD，所以DE=5.

答案 5

5.如图所示，AB是⊙O的直径，过圆上一点E作切线EDAF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C.若CB=2，CE=4，则AD的长为________.

解析 设⊙O的半径为r，

由CE2=CACB，

解得r=3.连接OE，

∵Rt△COE∽Rt△CAD，

COCA=OEAD，解得AD=245.

答案 245

6.如图，⊙O的直径AB=6 cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若CPA=30，则PC=________cm.

解析 连接OC，因为PC为⊙O的切线，

所以OCPC.

又因为CPA=30，

OC=12AB=3 cm，

所以在Rt△POC中，

PC=OCtanCPA=333=33(cm).

答案 33

7. 如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：

①AD+AE=AB+BC+CA;

②AFAG=AD

③△AFB∽△ADG.

其中正确结论的序号是________.

解析

∵CF=CE，BF=BD，

BC=CE+BD.

AB+BC+CA=(AB+BD)+(AC+CE)=AD+AE，

故结论①正确;

连接DF，则FDA=DGA.

又∵A，

△ADF∽△AGD.

ADAG=AFAD.

而AD=AE，故结论②正确;

容易判断结论③不正确.

答案 ①②

8.(2014广东肇庆一模)如 图，△ABC的外角平分线AD交外接圆于D，若DB=3，则DC=________.

解析 因为四边形ABCD是圆的内接四边形，

所以BCD+BAD=.

又因为BAD+DAE=，

所以B CD=DAE.

因为DAC与DBC为圆上同一段圆弧所对的角，

所以DAC=DBC.

又因为AD为CAD的角平分线，

所以DAC=DAE.

综上DAE=DACDAE=BCDDAC=DBCDCB=DBC.

所以△DBC为等腰三角形，

则DC=BD=3，故填 3.

答案 3

9.(2014湖北七市联考)如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B，C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=23，APB=30，则AE=________.

解析 因为PA是⊙O的切线，所以OAPA.

在Rt△PAO中，APB=30，

则AOP=60，AO=APtan30=2，

连接AB，

则△AOB是等边三角形，过点A作AMBO，重足为M，

则AM=3.

在Rt△AMD中，AD=3+4=7，

又EDAD=BDDC，故ED=377，

则AE=7+377=1077.

答案 1077

二、解答题

10.

如图所示，AB为⊙O的直径，P为BA的延长线上一点，PC切⊙O于点C，CDAB，垂足为D，且PA= 4，PC=8，求tanACD和sinP的值.

解

连接OC，BC，如图.

因为PC为⊙O的切 线，

所以PC2=PAPB.

故82=4PB，

所 以PB=16.

所以AB=16-4=12.

由条件，得PCA=PBC，

又P，

所以△PCA∽△PBC.

所以ACBC=PCPB.

因为AB为⊙O的直径，

所以ACB=90.

又CDAB，

所以ACD=B.

所以tanACD=tanB=ACBC=PCPB=816=12.

因为PC为⊙O的切线，

所以PCO=90.

又⊙O的直径AB=12，

所以OC=6，PO=10.

所以sinP=OCPO=610=35.

11.

如图所示，AB是半径为1的圆O的直径，过点A，B分别引弦AD和BE，相交于点C，过点C作CFAB，垂足为点F.已知CAB=15，DCB=50.

(1)求EAB的大小;

(2)求BCBE+ACAD的值.

解 (1)因为AB为圆O的直径，故AEB=90，

又因为ECA=DCB=50，

所以在Rt△AEC中，CAE=40，

故EAB=EAC+BAC=55.

(2)连接BD.由(1)，知AEC+AFC=180，

故A，F，C，E四点共圆，

所以BCBE=BF BA，①

易知ADB=90，

同理可得ACAD=AFAB，②

联立①②，知BCBE+ACAD=(BF+AF)AB=AB2=22=4.

B级能力提高组

1.

(2014广州一模)如图，PC是圆O的切线，切点为点C，直线PA与圆O交于A ，B两点，APC的角平分线交弦CA，CB于D，E两点，已知PC=3，PB=2，则PEPD的值为________.

解析 由切割线定理可得PC2=PAPBPA=PC2PB=322=92，

由于PC切圆O于点C，

由弦切角定理可知PCB=PAD，

由于PD是APC的角平分线，

则CPE=APD，

所以△PCE∽△PAD，

由相似三角形得PEPD=PCPA=392=329=23.

答案 23

2.(2014湖北荆州二模)已知⊙O的半径R=2，P为直径AB延长线上一点，PB=3，割线PDC交⊙O于D，C两点，E为⊙ O上一点，且AE︵=AC︵，DE交AB于F，则OF=________.

解析 如图所示，连接OC，OE，PE，

由于AC︵=AE︵，

所以AE︵=12CAE︵.

因此AOE=12COE，

而CDE=12COE，

所以AOE=CDE，

故EOF=PDF.

由于OFE=DFP，

因此△OEF∽△DPF，

所以OFDF=EFPF.

因此OFPF=EFDF，

设OF=x，

则PF=5-x，

所以EFDF=x(5-x)=-x2+5x，

由相交弦定理得EFDF=AFBF=(2+x)(2 -x)=-x2+4，

所以-x2+5x=-x2+4，

解得x=45，故OF=45.

答案 45

3.

(2014辽宁卷)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.

(1)求证：AB为圆的直径;

(2)若AC=BD，求证：AB=ED.

证明 (1)因为PD=PG，

所以PDG=PGD，

由于PD为切线，

故PDA=DBA，

又由于PGD=EGA，

故DBA=EGA，

所以DBA+BAD=EGA+BAD，

从而BDA=PFA.

由于AFEP，

所以PFA=90，

于是BDA=90.

故AB是直径.

(2)连接BC，DC，如图.

由于AB是直径，故BDA=ACB=90.

在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，

从而Rt△BDA≌Rt△ACB.

于是DAB=CBA.

又因为DCB=DAB，

所以DCB=CBA，

故DC∥AB.

由于ABEP，

所以DCEP，DCE为直角.

于是ED为直径，由(1)得ED=AB.

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