数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学。查字典数学网为大家推荐了高一级数学第一学期期中考试章节复习要点，请大家仔细阅读，希望你喜欢。

一．知识归纳：

1.集合的有关概念。

1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素

注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则ab)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件

2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法

3)集合的分类：有限集，无限集，空集。

4)常用数集：N，Z，Q，R，N*

2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1)子集：若对xA都有xB，则A B(或A B);

2)真子集：A B且存在x0B但x0 A;记为A B(或 ，且 )

3)交集：AB={x| xA且xB}

4)并集：AB={x| xA或xB}

5)补集：CUA={x| x A但xU}

注意：①? A，若A?，则? A ;

②若 ， ，则 ;

③若 且 ，则A=B(等集)

3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与 、?的区别;(2) 与 的区别;(3) 与 的区别。

4.有关子集的几个等价关系

①AB=A A B;②AB=B A B;③A B C uA C uB;

④ACuB = 空集 CuA B;⑤CuAB=I A B。

5.交、并集运算的性质

①AA=A，A? = ?，AB=B②AA=A，A? =A，AB=B

③Cu (AB)= CuACuB，Cu (AB)= CuA

6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。

二．例题讲解：

【例1】已知集合M={x|x=m+ ,mZ},N={x|x= ,nZ},P={x|x= ,pZ}，则M,N,P满足关系

A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M

分析一：从判断元素的共性与区别入手。

解答一：对于集合M：{x|x= ,m对于集合N：{x|x= ,nZ}

对于集合P：{x|x= ,pZ}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以M N=P，故选B。

分析二：简单列举集合中的元素。

解答二：M={， ，}，N={， , , ，}，P={， , ，}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。

= N， N，M N，又 = M，M N，

变式：设集合 ， ，则( B )

A.M=N B.M N C.N M D.

解：

当 时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B

【例2】定义集合A*B={x|xA且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则A*B的子集个数为

A)1 B)2 C)3 D)4

分析：确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A={a1，a2，，an}有子集2n个来求解。

解答：∵A*B={x|xA且x B}， A*B={1,7}，有两个元素，故A*B的子集共有22个。选D。

变式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若aM，则6?aM，那么集合M的个数为

A)5个 B)6个 C)7个 D)8个

变式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.

解：由已知，集合中必须含有元素a,b.

集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

评析 本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有 个 .

【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且AB={1},AB={?2,1,3},求实数p,q,r的值。

解答：∵AB={1} 1B 12?41+r=0,r=3.

B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵AB={?2,1,3},?2 B, ?2A

∵AB={1} 1A 方程x2+px+q=0的两根为-2和1，

变式：已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且AB={2},AB=B，求实数b,c,m的值.

解：∵AB={2} 1B 22+m?2+6=0,m=-5

B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵AB=B

又 ∵AB={2} A={2} b=-(2+2)=4,c=22=4

b=-4,c=4,m=-5

【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)0},集合B满足：AB={x|x-2}，且AB={x|1

分析：先化简集合A，然后由AB和AB分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。

解答：A={x|-21}。由AB={x|1-2}可知[-1,1] B，而(-,-2)B=ф。

综合以上各式有B={x|-15}

变式1：若A={x|x3+2x2-8x0}，B={x|x2+ax+b0},已知AB={x|x-4}，A,求a,b。(答案：a=-2，b=0)

变式2：设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若MN=N，求所有满足条件的a的集合。

解答：M={-1,3} , ∵MN=N, N M

①当 时，ax-1=0无解，a=0 ②

综①②得：所求集合为{-1，0， }

【例5】已知集合 ，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，若P，求实数a的取值范围。

分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+20在 有解，再利用参数分离求解。

解答：(1)若 ， 在 内有有解

令 当 时，

所以a-4,所以a的取值范围是

变式：若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。

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